Елиптичен филтър

Нискочестотният елиптичен филтър се определя от амплитудната функция

Амплитудна функция на елиптичния филтър

където ω е ъгловата честота, ωc е преходната честота, ε и ξ са параметри, които контролират размера на вълните в лентите на пропускане и спиране и Rn е елиптичната рационална функция от разряд n.

Елиптичният филтър е един филтър с равни вълни, защото вълните в неговия амплитуден спектър са с равна височина.

Елиптичната рационална функция R няма хубаво алгебрично изписване, освен в определени случаи, както е описано по-долу. Затова, елиптичният филтър тук е определен със своята амплитудна функция, а не със своята трансферна функция. Една примерна трансферна функция в един определен случай е показана по-долу.

Функцията по-горе е амплитудната функция на елиптичния нискочестотен филтър. Ако заменим s / ωc с ωc / s, ще получим елиптичния високочестотен филтър. Ако заменим s / ωc с (s2 + ωc2) / (B s), ще получим един елиптичен филтър, който пропуска една честотна лента (средночестотен), където ωc е средата на лентата на пропускане и B е ширината на лентата. Ако заменим s / ωc с B s / (s2 + ωc2), ще получим един елиптичен филтър, който спира една честотна лента (режекторен).

ε се нарича коефициент на вълните и определя размера на вълните в лентата на пропускане. ξ се нарича фактор на избора (на селективността, ξ ≥ 1) и, заедно с коефициента на вълните, определя размера на вълните в лентата на спиране. Когато вълните в лентата на пропускане се приближават към нула, филтърът се приближава към филтъра на Чебишев от първи вид. Когато вълните в лентата на спиране се приближават към нула, филтърът се приближава към филтъра на Чебишев от втори вид. Когато и двете вълни се приближават към нула, филтърът се приближава към филтъра на Батъруърт.

Следната графика показва амплитудната функция на елиптичните филтри от разряди 2 и 4.

Графика на амплитудната функция на елиптичния филтър

Тук, ωc = 0.6, ε = 0.5 и ξ = 1.5. Когато ε се приближава към нула, вълните в лентата на пропускане се приближават към нула. Когато ξ се увеличава за определено ε, вълните в лентата на спиране се приближават към нула.

Един примерен елиптичен филтър от втори разряд

Елиптичната рационална функция от втори разряд

Елиптичната рационална функция от втори разряд

което означава, че амплитудната функция на елиптичния филтър от втори разряд е

Амплитудна функция на елиптичния филтър от втори разряд

и, трансферната функция с преобразуването на Лаплас H(s), със s = j ω, е

Квадрат на трансферната функция с преобразуването на Лаплас на елиптичния филтър от втори разряд

В тази формула, четирите корена на знаменателя са

Корени на знаменателя на трансферната функция на елиптичния филтър от втори разряд

Трансферната функция може да се преработи по следния начин

Преработена трансферна функция на елиптичния филтър от втори разряд

където s1 и s2 са двата корена с отрицателна реална част. (Както при всички филтри с неограничени импулсни спектри, търсим един филтър, който не произвежда неограничен изходен сигнал. Тъй като работим само с положителни амплитуди – няма "отрицателни амплитуди" в практиката – трябва да няма корени в знаменателя, реалната част на които е положителна. Затова и избираме само корените с отрицателни реални части.) След билинейното преобразуване, s = 2 (z – 1) / (z + 1), филтърът става

Трансферна функция на елиптичния филтър от втори разряд с преобразуването Z

s1 и s2 спрегнати комплексни числа, което означава, че s1 s2 и s1 + s2 реални числа и трансферната функция с преобразуването Z по-горе има само реални коефициенти.

Със ωc = 0.6, ε = 0.5 и ξ = 1.5 и след като разделим числителя и знаменателя с една и съща скаларна величина за да получим 1 в началото на знаменателя, трансферната функция е

Примерен елиптичен филтър от втори разряд

(Преходната честота на филтъра по принцип е ωc = 2 arctan(0.6/2) ≈ 0.583, заради изкривяването на честотния диапазон от билинейното преобразуване) Амплитудният спектър на филтъра е същия, както амплитудната функция от втори разряд в графиката по-горе.

Елиптичната рационална функция

Елиптичната рационална функция не може винаги да се изпише по един хубав алгебричен начин. Нейното определение използва елиптичния косинус на Джакоби и елиптичния интеграл. В едни специални случаи обаче, когато разряда на функцията е n = 2i 3j за целите числа i и j, имаме:

Различни разряди на елиптичната рационална функция

Свойството на "развиване" на елиптичната рационална функция ни позволява да изчислим и по-високи разряди. Това свойство е

Развиване на елиптичната рационална функция

Така,

Четвърти и шести разряд на елиптичната рационална функция

и така нататък.

Елиптични филтри от по-висок разряд

Елиптичните филтри от по-високи разряди могат да бъдат създадени по подобен начин. Ако елиптичната рационална функция може да бъде изписана по един хубав алгебричен начин, може да е възможно да се намерят корените на знаменателя на трансферната функция на елиптичния филтър по алгебричен начин. Във всички случаи, би трябвало да можем да намерим корените на знаменателя числено. Следните параграфи показват един примерен високочестотен елиптичен филтър от четвърти разряд.

Елиптичната рационална функция от четвърти разряд може да се изрази по следния начин.

Елиптична рационална функция от четвърти разряд

Трансферната функция на високочестотния елиптичен филтър от четвърти разряд тогава е

Трансферна функция на високочестотния елиптичен филтър от четвърти разряд

Определяме

Замествания в трансферната функция на високочестотния елиптичен филтър от четвърти разряд

Осемте корена на знаменателя са следните (умножено по две за всички +- преди всяко "j", които работят заедно; два пъти за +- пред корена; и два пъти за +- в началото).

Корени на трансферната функция на високочестотния елиптичен филтър от четвърти разряд

Трансферната функция тогава е

Преработена трансферна функция на високочестотния елиптичен филтър от четвърти разряд

където s1, s2, s3 и s4 са четирите корена с отрицателни реални части.

Със същите параметри както по-горе например (ωc = 0.6, ε = 0.5 и ω = 1.5), осемте корена са следните.

Графика на корените на трансферната функция на високочестотния елиптичен филтър от четвърти разряд

Четирите корена с отрицателни реални части са

Корените с отрицателни реални части на знаменателя на трансферната функция на високочестотния елиптичен филтър от четвърти разряд

Филтърът, след билинейното преобразуване, е

Примерна трансферна функция със преобразуването Z на високочестотния елиптичен филтър от четвърти разряд

Амплитудният спектър на филтъра е показан в графиката тук.

Амплитуден спектър на примерния високочестотен елиптичен филтър от четвърти разряд

Тази графика е изчислена с пробната честота 2000 Hz и, следователно, преходната честота ωc = 0.6 всъщност е 191 Hz.

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.