Еквивалентна лента на шума

За една система с трансферната функция H(j ω), еквивалентната лента на шума (от англ., "equivalent noise bandwidth" или "ENBW") е

Формула за еквивалентната лента на шума

където Hmax е максималната стойност на |H(j ω)|.

Забележи, че еквивалентната лента на шума в горното уравнение е нормализирана и за максималната стойност на H, и за интервала на ω, който е с дължина 2 π. Така например, един всичкопропускащ филтър с амплитуда 1 трябва да има ENBW = 1.

Еквивалентна лента на шума за филтри

Горното уравнение измерва стойността на мощност на шума, която системата пропуска (квадрата над |H| означава мощност, виж Децибел (dB); термина "шум" има смисъл, защото се интересуваме от целия честотен диапазон). Така, еквивалентната лента на шума измерва мощността на шума, която е събрана в амплитудния спектър на филтъра, както е обяснено по-долу.

Повечето филтри не пропускат всички честоти на сигнала с една и съща мощност. Един нискочестотен филтър например пропуска ниските честоти с минимални промени в амплитудата и следователно мощността, но понижава амплитудата / мощността на високите честоти. Каквато и да е мощността пропусната от практичния нискочестотен филтър, съществува някакъв идеален нискочестотен филтър с квадратен амплитуден спектър, който пропуска същата мощност, както е показано в следната графика.

Изображение на практичния идеален нискочестотен филтър с еквивалентната лента на шума

Лентата BN на идеалния филтър е еквивалентната лента на шума.

Забележи, че BN се увеличава, когато преходната честота на нискочестотния филтър се увеличава. Затова, понякога използваме отношението BN / ω0 вместо само лентата BN. Това отношение става по-малко, когато филтърът става по-добър, както с по-голяма дължина или с по-висока преходна честота при филтрите с ограничен импулсен спектър или с по-високия разряд при филтрите с неограничен импулсен спектър.

Забележи, че честотата ω0 не съществува при практичните филтри. Няма определена честота, при която амплитудният спектър се променя от една плоска, хоризонтална линия към една, която спада. Обикновено, ω0 се избира да бъде честотата, при която амплитудният спектър стига -3 dB.

Филтърът на Батъруърт от първи разряд например е

Нискочестотен филтър на Батъруърт от първи разряд

където ωc е преходната честота. Амплитудният спектър на този филтър е

Амплитуден спектър на нискочестотния филтър на Батъруърт от първи разряд

Тъй като амплитудният спектър на филтъра на Батъруърт намалява монотонно, Hmax = H(0) = 1. Еквивалентната лента на шума е

Еквивалентна лента на шума на нискочестотния филтър на Батъруърт от първи разряд

Така, ENBW е пропорционална на нормализираната преходна честота. Също така, амплитудният спектър при преходната честота е

Амплитудният спектър на филтъра на Батъруърт при преходната честота е -3 dB

Отношението на ENBW към честотата с -3 dB е 1.57.

Еквивалентна лента на шума за прозорците

Вземи един прозорец w(k) определен в дискретизирано време и приложен към един филтър с ограничен импулсен спектър. Ако третираме този прозорец като един филтър, тогава еквивалентната лента на шума е

Еквивалентна лента на шума в дискретизирано време

Според теоремата на Парсевал

Еквивалентна лента на шума в дискретизирано време след теоремата на Парсевал

За един типичен прозорец, Hmax е при ω = 0 и е нулевия компонент на дискретизираното преобразуване на Фурие

Максимален амплитуден спектър за един прозорец

и така

Еквивалентна лента на шума за един прозорец

При правоъгълния прозорец например

Еквивалентна лента на шума за правоъгълния прозорец

При други често срещани прозорци, BN >1. Амплитудният спектър на прозореца на Хеминг, ако прозорецът се използва като филтър, е показан в следната графика (изчислена с малко ограничена прецизност). Това е един прозорец с дължина N = 201. Тази графика е за част от честотния диапазон, който е от 0 до π. Също така, върхът на прозореца е 1 и не е понижен за да се получи така, че амплитудният спектър да е 1 при 0.

Амплитуден спектър на прозореца на Хеминг, когато се използва като филтър

Еквивалентната лента на шума на този прозорец е BN = 1.37. (Еквивалентната лента на шума става по-малка с прозорци на Хеминг с по-голяма дължина; по-близка е до 1.36).

Един филтър с този прозорец е умножението f(k) w(k) на стандартния филтър f(k) и прозореца w(k). Според теоремата за конволюцията, преобразуването на Фурие на това умножение е конволюцията на преобразуванията на Фурие.

Теорема за конволюцията

Така, амплитудният спектър на прозореца е като филтър върху амплитудният спектър на филтъра преди прозореца.

За типичния прозорец, колкото е по-малка BN, толкова повече амплитудният спектър на прозореца ще има по-бързо спадане от |H(0)| към краищата. Това означава, че амплитудният спектър на типичния прозорец повече ще наподобява един импулс. Влиянието на амплитудния спектър на прозореца (филтърът в горната конволюция) върху амплитудния спектър на стандартния филтър ще бъде както при един всичкопропускащ филтър. Един стандартен всичкопропускащ филтър с ограничен импулсен спектър е един импулс. Колкото по-малка е еквивалентната лента на шума, толкова повече прозорецът наподобява правоъгълния прозорец. Прозорецът на Тъки, както е определен в този сайт, клони към правоъгълния прозорец когато неговият параметър α става по-голям. Когато α става по-голям, ENBW на прозореца на Тъки клони към 1.

Еквивалентна лента на шума за често срещани прозорци

Следното е еквивалентната лента на шума за някои от често срещаните прозорци (според определенията за прозорците в този сайт).

Бартлет и Хан 1.46
Блекмън
Точен Блекмън
Обобщен Блекмън
  α = 0.05
  α = 0.20
  α = 0.35
1.73
1.70

1.56
1.82
2.33

Блекмън и Харис 2.01
Блекмън и Нътол 1.98
Боумън 1.79
Долф и Чебишев
  ω0 = 0.1
  ω0 = 0.2
  ω0 = 0.3
1.80
2.33
2.72
Плосък 3.78
Гаус
  σ = 0.3
  σ = 0.5
  σ = 0.7
Приблизителен ограничен на Гаус
  σ = 0.3
  σ = 0.5
  σ = 0.7
Обобщен нормален
  α = 2
  α = 4
  α = 6
1.89
1.23
1.08

1.89
1.32
1.24

1.23
1.56
1.71

Хеминг 1.36
Хан 1.50
Хан и Поасон
  α = 0.3
  α = 0.5
  α = 0.7
1.57
1.61
1.66
Кайзер
  α = 0.5
  α = 1.0
  α = 5.0
1.02
1.15
1.76
Кайзер и Бесел 1.80
Ланцош 1.30
Нътол 2.03
Парзън 1.12
Клин на Планк
  ε = 0.2
  ε = 0.4
  ε = 0.5
1.19
1.46
1.63
Поасон
  α = 0.2
  α = 0.5
  α = 0.8
1.00
1.02
1.05
Степен на косинуса
  α = 1.0
  α = 2.0
  α = 3.0
1.24
1.50
1.74
Правоъгълен 1.00
Синусоиден 1.24
Триъгълен 1.34
Тъки
  α = 0.3
  α = 0.5
  α = 0.7
1.33
1.22
1.13
Ултрасферичен (x0 = 1)
  μ = 2
  μ = 3
  μ = 4
1.18
1.39
1.57
Уелч 1.20

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.