Преобразуване на Лаплас

Преобразуването на Лаплас се определя от

Преобразуване на Лаплас

където s = σ + j ω за ъгловата честота ω и скаларната величина σ. Обратното преобразуване на Лаплас се дава от

Обратно преобразуване на Лаплас

където γ е реално число, което е необходимо за конвергенцията на L(f(t)).

Връзка между преобразуването на Лаплас, преобразуването Z и преобразуването на Фурие

Въпреки че преобразуването на Лаплас е преобразуване на непрекъснати функции, а преобразуването Z е преобразуване на функции в дисретизирано време, изчисленията на тези две преобразувания си приличат. Вместо обаче да произвежда функция на променливата

z = A e-j ω

преобразуването на Лаплас произвежда функция на променливата

s = σ + j ω

В математиката, когато един непрекъснат сигнал се дискретизира, се използва конволюция на този сигнал с една безкрайна поредица от импулси, наречени гребен на Дирак (безкрайна поредица от делта функции на Дирак (импулси), интегралът на която е едно между отрицателната и положителната безкрайност). Така, ако дискретизираният сигнал x(k), с време на дискретизирането T = 1 / fs, където fs е пробната честота, има непрекъснатото представяне x(t), тогава неговото преобразуване на Лаплас е

Преобразуване на Лаплас на един дискретизиран сигнал

Така, преобразуването на Лаплас на един дискретизиран сигнал е едностранното преобразуване Z със z = esT. Това означава, че преобразуването на Лаплас е подобно и на преобразуването на Фурие в дискретизирано време, което е специален случай на преобразуването Z (преобразуването Z с A = 1). Преобразуването на Лаплас е подобно и на непрекъснатото преобразуване на Фурие, което е просто преобразуването на Лаплас със σ = 0.

Обосновка за използването на преобразуването на Лаплас при работата с цифрови сигнали

Подобно на преобразуването на Фурие и на преобразуването Z, при работата с цифрови сигнали, можем да кажем, че преобразуването на Лаплас превежда една функция на времето при дадени стойности на амплитудите, честотите и фазите във функция на честотите и фазите при дадени амплитуди и време. Подобно на това, че при работата с цифрови сигнали обикновено използваме преобразуването Z върху кръга с радиус единица (при A = 1 и z = e-j ω), обикновено използваме преобразуването на Лаплас със σ = 0 и s = j ω. Предимството на преобразуването на Лаплас в сравнение на преобразуването Z при работата с цифрови сигнали е просто. Трансферните функции, произведени с преобразуването на Лаплас и изписани като функции на s = j ω са доста по-прости функции на ъгловата честота ω в сравнение с трансферните функции произведени с преобразуването на Фурие и преобразуването Z.

Лесно е, например, да вземем желания амплитуден спектър на нискочестотния филтър на Батъруърт

Желаният амплитуден спектър на Батъруърт

и да видим, че квадрата на трансферната функция, със s = j ω, трябва да е нещо като

Квадрат на трансферната функция на филтъра на Батъруърт

(Обикновено, вместо H(s)2, ще пишем H(s)H(-s). Този вид преобразувания дават излишна информация, когато са приложени върху реални данни и, тъй като искаме да произведем един филтър с реални коефициенти, можем да приемем, че амплитудният спектър е симетричен спрямо нулата и че H(s) = H(-s).) Тогава можем да намерим корените на знаменателя

Корени на трансферната функция на филтъра на Батъруърт

и да изведем

Квадрат на трансферната функция на филтъра на Батъруърт с корените

Знаем, че една стабилна система е тази, която дава нормални (ограничени) изходи за всеки нормален (ограничен) вход. Преобразуването на Лаплас на тези системи трябва да е ограничено. Тъй като на практика работим само с неотрицателни амплитуди, искаме трансферната функция с преобразуването на Лаплас да бъде ограничено за всички s, за които σ = Re(s) ≥ 0. Ако трансферната функция има знаменател с корени, при които тя не е ограничена, тези корени трябва да са с отрицателна реална част.

Сега можем да определим трансферната функция на нискочестотния филтър на Батъруърт по-точно.

Трансферна функция на нискочестотния филтър на Батъруърт

Извеждането на нискочестотния филтър на Батъруърт би било доста по-трудно с преобразуването Z.

Един от недостатъците на преобразуването на Лаплас е, че това описание на системата за работа с цифрови сигнали в непрекъснато време трябва да се превърне в едно описание на системата в дискретизирано време – обикновено с преобразуването Z. Един от начините да се направи това е да се използва обратното преобразуване на Лаплас. Един друг начин е да се използва билинейното преобразуване. И двата начина са показани в темата Филтър на Батъруърт. Билинейното преобразуване се справя по-добре и е по-лесно за извеждане. Билинейното преобразуване обаче изкривява честотния диапазон. Един цифров филтър на Батъуърт с преходна честота ωa преди билинейното преобразуване ще има преходната честота ωd = 2 arctan(ωa / 2) след билинейното преобразуване. Когато проектираме филтри, трябва да внимаваме да изберем правилната преходна честота. Така или иначе, билинейното преобразуване е подходящо за превръщането на преобразуването на Лаплас в преобразуването Z. Следната графика показва един примерен импулсно инвариантен (с обратното преобразуване на Лаплас) филтър на Батъруърт от втори разряд (в синьо) и същия филтър изчислен с билинейното преобразуване (в червено).

Амплитуден спектър на импулсно инвариантния нискочестотен филтър на Батъруърт от втори разряд и на същия нискочестотен филтър на Батъруърт изчислен с билинейното преобразуване

Един втори недостатък е, че преобразуването на Лаплас използва обозначаване, което е по-трудно от обозначаването в преобразуването Z. Свойството за изместването във времето при преобразуването Z например е

Свойство за изместването във времето при преобразуването Z

Същото свойство за изместването във времето при преобразуването на Лаплас е

Свойство за изместването във времето при преобразуването на Лаплас

където u(t) стъпаловидна функция и δ е делта функцията на Дирак.

Трансферни функции с преобразуването на Лаплас

Трансферната функция с преобразуването на Лаплас в една система в непрекъснато време с входен сигнал x(t) и изходен сигнал y(t) е

Общ формат на трансферната функция с преобразуването на Лаплас

Както при преобразуването Z, можем да използваме преобразуването на Лаплас за да изчислим амплитудния и фазовия спектър на системата, но трябва да направим това върху кръга с радиус единица, т.е. при σ = 0 и s = j ω. Амплитудният спектър на една система с трансферната функция по-горе ще е |H(j ω)| а фазовият и спектър е arg(H(j ω)).

Примерни трансферни функции с преобразуването на Лаплас са показани в темите: Филтър бразда, Филтър на Батъруърт, Филтър на Бесел , Филтър на Чебишев първи вид и Филтър на Чебишев втори вид.

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.