Коефициентите на ултрасферичния прозорец се дават от формулата
$$a_0(m)=\frac{1}{N}(C_{N-1}^\mu (x_0)+2 \sum_{n=1}^{\frac{N-1}{2}} (C_{N-1}^\mu (x_0 \cos(\frac{\pi \, n}{N}) \cos(\frac{2 \pi \, n \, m}{N}))))$$ $$m=-\frac{N-1}{2}, -\frac{N-1}{2}+1, …, \frac{N-1}{2}$$ $$a(k)=\frac{a_0(k-\frac{N-1}{2})}{a_0(0)}, k=0, 1, …, N-1$$
където N е дължината на филтъра, μ и x0 са константи, които контролират колко бързо краищата на прозореца затихват (обикновено, μ ≥ 1 и x0 ≥ 1) и CμN са ултрасферичните полиноми, които също така се наричан полиноми на Гегенбауер, определени от рекурсията
$$C_0^\mu (x)=1$$ $$C_1^\mu (x)=2\,\mu \, x$$ $$C_n^\mu (x)=\frac{1}{n} (2(n+\mu-1)x\,C_{n-1}^\mu (x)-(n+2\,\mu-2) C_{n-2}^\mu (x))$$
a0(k) е един прозорец, който е симетричен спрямо нулата и върхът на който не е 1. a(k) измества този прозорец надясно с (N – 1) / 2 до k=0, 1, …, N – 1 и му променя размера, така че върхът му да е 1. Забележи, че ултрасферичните полиноми имат много други еквивалентни определения. Забележи също, че основната трудност при изчисляването на този прозорец е изчисляването на ултрасферичните полиноми, защото числата, които се получават, могат да са доста големи.
a0(k) всъщност е обратното дискретизирано преобразуване на Фурие на желания амплитуден спектър
$$H(k)=C_{N-1}^\mu (x_0 \cos(\frac{\pi\,k}{N}))$$
за k = 0, 1, …, (N – 1) /2.
Едно друго и еквивалентно определение на прозореца използва
$$a_0(k)=b_{\frac{N-1}{2}-|k|, N-1}^\mu (x_0)$$ $$b_{m,n}^\mu (x_0)=\frac{2\,\mu \, x_0^n}{n-m} (\begin{matrix} \mu+n-m-1 \\ n-m-1 \end{matrix}) \sum_{i=0}^m ((\begin{matrix} \mu+m-1 \\ m-i \end{matrix}) (\begin{matrix} n-m \\ i \end{matrix}) (1-x_0^{-2})^i)$$ $$(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) = \frac{n!}{m! (n-m)!}$$
Вземи един нискочестотен филтър с ограничен импулсен спектър (FIR) и с дължина N = 101. Следното е ултрасферичния прозорец с μ = 3 и x0 = 1.
Следното е съответния желан амплитуден спектър (преди нагласяването на размера).
Ако пробната честота е 2000 Hz и преходната честота на филтъра е 40 Hz, импулсният спектър на филтъра с правоъгълния прозорец (без прозорец) и с ултрасферичния прозорец по-горе е следния.
Амплитудният спектър на същия филтър е показан на следната графика.
С по-голямо μ, страните на прозореца затихват по-бързо и амплитудният спектър на съответния филтър има по-голяма преходна лента и по-добра атенюация в лентата на спиране. Следното е ултрасферичния прозорец с x0 = 1 и при три различни стойности на μ (2, 3 и 4).
Съответните амплитудни спектри за същия нискочестотен филтър, който се използва в примера по-горе, са следните.
Влиянието на x0 е подобно. Следното е ултрасферичния прозорец с μ = 2 и при три стойности на x0 (1, 1.001 и 1.002).
Съответните амплитудни спектри, изчислени със същия нискочестотен филтър, който се използва в примерите по-горе, са следните.
Измерения за ултрасферичния прозорец
Следната графика сравнява дискретизираното преобразуване на Фурие на ултрасферичния прозорец (μ = 3; x0 = 1) и на правоъгълния прозорец.
Следното са измеренията на ултрасферичния прозорец (x0 = 1; μ = 2, 3 и 4).
μ | 2 | 3 | 4 |
Кохерентна амплитуда | 0.68 | 0.55 | 0.48 |
Еквивалентна лента на шума | 1.18 | 1.39 | 1.57 |
Загуба при преработката | -0.71 dB | -1.42 dB | -1.96 dB |
Загуба на лоба | -2.32 dB | -1.66 dB | -1.30 dB |
Загуба при преработката в най-лошия случай | -3.02 dB | -3.08 dB | -3.26 dB |
Ниво на най-високия страничен лоб | -21.3 dB | -27.7 dB | -33.3 dB |
Спадане на страничните лобове | -10.7 dB / octave, -35.4 dB / decade | -14.6 dB / octave, -48.6 dB / decade | -18.2 dB / octave, -60.5 dB / decade |
Главният лоб е -3 dB | 1.14 bins | 1.34 bins | 1.50 bins |
Главният лоб е -6 dB | 1.56 bins | 1.84 bins | 2.08 bins |
Корелация при застъпването при застъпване от 50% | 0.359 | 0.223 | 0.138 |
Амплитудна гладкост при застъпване от 50% | 0.684 | 0.859 | 0.908 |
Корелация при застъпването при застъпване от 75% | 0.772 | 0.702 | 0.632 |
Амплитудна гладкост при застъпване от 75% | 0.914 | 0.982 | 0.992 |
Виж също:
Прозорец
Добави нов коментар