Филтър на Чебишев (първи вид)

Филтърът на Чебишев от първи вид се дава от нормализираната трансферна функция

$$H(S)=\frac{1}{2^{n-1}\epsilon}\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{S-s_k}$$

където n е разряда на филтъра, ε определя размера на вълните на амплитудния спектър на филтъра в лентата на пропускане и корените на знаменателя са sk са

$$s_k=-sinh(\frac{asinh(\frac{1}{\epsilon})}{n})\,sin(\frac{\pi(2k-1)}{2n})$$ $$-j\,cosh(\frac{asinh(\frac{1}{\epsilon})}{n})\,cos(\frac{\pi(2k-1)}{2n})$$

Тук sinh и cosh са хиперболичните синус и косинус, а asinh и acosh са обратните хиперболични синус и косинус.

Трансферната функция по-горе е показана независимо от преходната честота (т.е., за преходната честота 1) и различните форми на филтъра на Чебишев от първи вид изискват заместване. Тази трансферна функция е нормализирана. Използвай S = s / ωc за да получиш нискочестотния филтър на Чебишев от първи вид, където s = jω, ωc е преходната честота на филтъра и ω е ъгловата честота в честотния диапазон между 0 и π. Използвай S = ωc / s за да получиш високочестотния филтър на Чебишев от първи вид. Използвай S = (s2 + ωc2) / (B s) за да получиш един филтър на Чебишев от първи вид, който пропуска някаква честотна лента (средночестотен), като ωc е средата на тази честотна лента и B е нейната ширина. Използвай S = B s / (s2 + ωc2) за да получиш един филтър на Чебишев от първи вид, който спира някаква честотна лента (режекторен).

Пример: Нискочестотен филтър на Чебишев от първи вид и втори разряд

Замести n = 2 и S = s / ωc в трансферната функция по-горе. Трансферната функция на нискочестотния филтър на Чебишев от първи вид и втори разряд е

$$H(s)=\frac{1}{2\epsilon}\frac{\omega_c^2}{(s-s_1 \omega_c)(s-s_2 \omega_c)}$$ $$s_1=-sinh(\frac{asinh(\frac{1}{\epsilon})}{2}) sin(\frac{\pi}{4})+j \, cosh(\frac{asinh(\frac{1}{\epsilon})}{2}) cos(\frac{\pi}{4})$$ $$s_2=-sinh(\frac{asinh(\frac{1}{\epsilon})}{2}) sin(\frac{3 \pi}{4})+j \, cosh(\frac{asinh(\frac{1}{\epsilon})}{2}) cos(\frac{3 \pi}{4})$$ $$=-sinh(\frac{asinh(\frac{1}{\epsilon})}{2}) sin(\frac{\pi}{4})-j \, cosh(\frac{asinh(\frac{1}{\epsilon})}{2}) cos(\frac{\pi}{4})$$

Използваме билинейното преобразуване s = 2 (z – 1) / (z + 1) за да изпишем трансферната функция с преобразуването Z по следния начин.

$$H(s)=\frac{\omega_c^2}{2\epsilon}\frac{a_0+a_1 z^{-1}+a_2 z^{-2}}{b_0+b_1 z^{-1}+b_2 z^{-2}}$$ $$a_0=1$$ $$a_1=2$$ $$a_2=1$$ $$b_0=4-2\omega_c(s_1+s_2)+\omega_c^2 s_1 s_2$$ $$b_1=-8+2\omega_c^2 s_1 s_2$$ $$b_2=4+2\omega_c(s_1+s_2)+\omega_c^2 s_1 s_2$$

(Всичките коефициенти в трансферната функция са реални числа, защото s1 и s2 са спрегнати комплексни числа). Да предположим, че преходната честота на филтъра е ωc = 0.6 и че ε = 0.5 (по принцип, преходната честота на филтъра ще е ωc = 2 arctan(0.6/2) ≈ 0.583, заради изкривяването на честотния диапазон от билинейното преобразуване). Трансферната функция на този примерен нискочестотен филтър на Чебишев от първи вид, след като умножим числителя и знаменателя по една и съща скаларна величина за да получим b0 = 1, е

$$H(z)=\frac{0.062755-0.125509z^{-1}+0.062755z^{-2}}{1-1.254222z^{-1}+0.534869z^{-2}}$$

и самият филтър е

$$y(k) = 0.062755 x(k) – 0.125509 x(k – 1) + 0.062755 x(k – 2)$$ $$+ 1.254222 y(k – 1) – 0.534869 y(k – 2)$$

Да кажем, че пробната честота е 2000 Hz. Преходната честота тогава е ωc = (0.6 * 2000) / (2 π) = 191 Hz. Амплитудният спектър на филтъра е показан в графиката по-долу.

Амплитуден спектър на един примерен нискочестотен филтър на Чебишев от първи вид и втори разряд

Размер на вълните в лентата на пропускане

Функцията за амплитудата на нискочестотния филтър на Чебишев от първи вид може също така да се изпише по следния начин.

$$|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2 T_n^2(\frac{\omega}{\omega_c})}}$$

където Tn са полиномите на Чебишев

$$T_n(x)=\begin{cases} cos(n\,acos(x)) & |x|\le1 \\ cosh(n \, acosh(x)) & |x|\gt 1\end{cases}$$

В лентата на пропускане, където ω / ωc < 1, Tn(ω / ωc) = cos(n acos(ω / ωc)) и 0 ≤ Tn2(ω / ωc) ≤ 1. В лентата на пропускане

$$\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}\le|H(j\omega)|\le1$$

Така, по-малките ε дават по-малки вълни в лентата на пропускане и по-големите ε дават по-големи вълни. Можем също така да очакваме, че |H(jω)| = 1 при ω / ωc = cos(π / 2n), тъй като там Tn(ω / ωc) = 0.

Ако използваме същите параметри както по-горе, тоест n = 2 и ωc = 0.6, можем да начертаем | H(jω)| за три различни стойности на ε (0.25, 0.5 и 0.75).

Примерно поведение на мангитудната функция на филтъра на Чебишев от първи вид в лентата на пропускане

Амплитудните спектри на трите съответни филтри за част от честотния диапазон (до 600 Hz) е:

Примерни амплитудни спектри на нискочестотни филтри на Чебишев от първи вид при различни стойности на епсилон

По-големите ε дават филтри с по-добро намаление на амплитудата в лентата на спиране (спират честотите по-добре), но пък с по-големи вълни в лентата на пропускане. По-малките стойности на ε дават филтри с по-малки вълни в лентата на пропускане, но пък с по-лошо намаление на амплитудата в лентата на спиране.

Пример: Високочестотен филтър на Чебишев от първи вид и втори разряд

Използваме n = 2 и S = ωc / s. Трансферната функция на високочестотния филтър на Чебишев от първи вид и втори разряд е

$$H(s)=\frac{1}{2\epsilon}\frac{s^2}{(\omega_c-s_1 s)(\omega_c-s_2 s)}$$

s1 и s2 са същите, както преди. След билинейното преобразуване s = 2 (z – 1) / (z + 1), трансферната функция става

$$H(z)=\frac{1}{2\epsilon}\frac{a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}}$$ $$a_0=4$$ $$a_1=-8$$ $$a_2=4$$ $$b_0=\omega_c^2-2\omega_c(s_1+s_2)+4s_1s_2$$ $$b_1=2\omega_c^2-8s_1s_2$$ $$b_2=\omega_c^2+2\omega_c(s_1+s_2)+4s_1s_2$$

Ако използваме например преходната честота ωc = 0.6 и ε = 0.5 и ако умножим числителя и знаменателя по една и съща скаларна величина за да получим b0 = 1, тогава a0 = a2 = 0.648689, a1 = -1.297379, b0 = 1, b1 = -1.333750, b2 = 0.567278. Ако предположим, че пробната честота е 2000 Hz, тогава ωc = (0.6 * 2000) / (2 π) = 191 Hz и амплитудният спектър на филтъра е следния.

Амплитуден спектър на един примерен високочестотен филтър на Чебишев от първи вид и втори разряд

Филтри на Чебишев от по-високи разряди

Филтрите на Чебишев от по-високи разряди могат да се получат или с методите по-горе, или като се подредят няколко филтъра от по-нисък разряд един след друг. Трансферната функция на високочестотния филтър на Чебишев от първи вид и четвърти разряд например е следната.

$$H(s)=\frac{1}{8\epsilon} \frac{s^2}{(\omega_c-s_1s)(\omega_c-s_4s)} \frac{s^2}{(\omega_c-s_2s)(\omega_c-s_3s)}$$

Това означава, че високочестотният филтър на Чебишев от първи вид и четвърти разряд може да се получи, като се подредят два филтъра от втори разряд един след друг (това не са филтрите на Чебишев от първи вид, защото корените на тези филтри от втори разряд не са същите, като корените на Чебишев). Умножението на две трансферни функции означава, че импулсният спектър на целия филтър е конволюцията на импулсните спектри на филтрите от по-нисък разряд и че изходният сигнал от първия филтър е входния сигнал във втория филтър. Комбинираме корените по начина по-горе, защото s1 и s4 са спрегнати комплексни числа и защото s2 и s3 са спрегнати комплексни числа. Не е важно дали (1 / 8ε) ще се използва в първия филтър, във втория филтър или ще бъде разделено между двата.

Следната графика сравнява амплитудните спектри на филтрите на Чебишев от първи вид и втори разряд и четвърти разряд с ε = 0.5, преходна честота от 2000 Hz, и ωc = 0.6.

Амплитуден спектър на филтрите на Чебишев от първи вид и от втори и четвърти разряд

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.