Примерен IIR-FIR филтър

администратор: Качено първо на 2016 07 09

Статия на госта Антон Каменов

Следното е един примерен честотен филтър, който комбинира стандартния нискочестотен филтър FIR се един стандартен нискочестотен филтър на Батъруърт от втори разряд. Пишем за това за да покажем, че не трябва винаги да се държим за стандартните филтри, а можем да експериментираме. Работата със стандартните филтри е просто началото, но можем да направим още.

Стандартният филтър с ограничен импулсен спектър (finite impulse response, FIR) има тясна преходна лента, но няма добро затихване в лентата на спиране. Филтърът на Батъруърт – поне филтрите на Батъруърт от ниски разряди, които са лесни за създаване – има добро затихване в лентата за спиране, но широка преходна лента. Естествено е да се опитаме да съберем двата филтъра. Най-очевидния начин да направим това е да подредим филтрите един след друг. Можем например да пуснем сигнала първо през филтъра на Батъруърт и след това през филтъра FIR. Или пък можем да използваме факта, че цялата трансферна функция на крайния резултата (на двата подредени филтъра) е умножението на трансферните функции да отделните филтри.

Един нискочестотен филтър на Батъруърт от втори разряд с преходната честота ω_c = 0.6 се дава от следната трансферна функция.

Един нискочестотен филтър FIR от 21 точки например при пробната честота f_s = 2000 Hz и при същата преходна честота f_c = f_s ω_c / 2π = 190.98 Hz се дава от

където

Целият филтър тогава ще има трансферната функция

Този филтър има амплитудния спектър показан на фигурата, която следва. Както можем да очакваме, този филтър има доста по-тясна преходна лента от филтъра на Батъруърт и по-добро затихване в лентата на спиране от филтъра FIR. Това се постига за сметка на вълните (вълните на феномена на Гибс), които се произвеждат естествено от филтъра FIR (можем да приложим прозорци към филтъра FIR).

По-интересното е, че сега можем да използваме само част от коефициентите на филтъра FIR. Вместо

можем да използваме

Това означава, че ще използваме всеки втори коефициент на филтъра FIR. Обикновено, при един единствен нискочестотен филтър при f_c, пропускането на част от коефициентите ще произведе алиасинг (т.е., "объркване на честотите"). Ако например използваме всеки втори коефициент, ще създадем две ленти на пропускане: една между 0 и f_c и една между (f_s / 2) – f_c и (f_s / 2). Тук обаче, разчитаме на факта, че филтъра FIR се прилага заедно с един филтър на Батъруърт и амплитудния спектър на филтъра на Батъуърт е такъв, че втората лента на пропускане, между (f_s / 2) – f_c и (f_s / 2), няма да се получи.

Въпреки че пропускането на коефициенти произвежда други ленти на пропускане заради алиасинг, може да има незначителен ефект на оригиналната лента на пропускане. Следната графика например показва ефекта в оригиналната лента на пропускане на използването на всеки осми коефициент (което обикновено ще произведе няколко ленти на пропускане) на един филтър от 101 точки при f_c = 40 Hz. Прекъснатата линия е амплитудния спектър на оригиналния филтър.

Aко пропуснем коефициенти във филтъра FIR в нашия филтър IIR-FIR, ще получим (почти) същия амплитуден спектър както в първата фигура по-горе. Това означава, че ще имаме един цял филтър от 13 точки – 11 в числителя и 2 в знаменателя. Можем да сравним този филтър например с един филтър на Батъуърт от четвърти разряд (9 точки), но има по-тясна преходна лента и са сметка на вълни в лентата на пропускане.