Честотен спектър

При работата с цифрови сигнали, честотният спектър на едно аналогово или цифрово оборудване или софтуер е някакво представяне, обикновено числово, графично или математическо, на това, как това оборудване или софтуер влияе на честотите.

Тъй като една честота се определя напълно от нейните амплитуда и фаза, честотният спектър обикновено описва как оборудването или софтуерът (или каквато и да е системата) влияе на амплитудата и фазата на някакво множество от честоти. Когато се описват само амплитудите, въздействието се нарича амплитуден спектър на системата. Когато се описват само фазите, въздействието се нарича фазов спектър на системата. Допълнителни подробности и примери за амплитудния спектър и фазовия спектър са дадени в съответните теми.

Честотният спектър и трансферните функции

В общия случай, когато една система се определя от нейната трансферна функция, честотният спектър (амплитудният спектър и фазовият спектър) може да се изчисли от трансферната функция. Ако например имаме трансферната функция с преобразуването Z H(z) на една линейна система, която е инварианта във времето, амплитудата на H(z), |H(z)|, z = A e^{-j ω}, изчислена при A = 1 (върху кръга с радиус единица), произвежда амплитудния спектър на системата

$$|H(e^{-j\,\omega})|=\sqrt{Re(H(e^{-j\,\omega}))^2+Im(H(e^{-j\,\omega}))^2}$$

където Re и Im са реалната и имагинерната част на H. Фазовият спектър на системата е

$$\Phi(e^{-j\,\omega})=\mathrm{atan2}(Im(H(e^{-j\,\omega})),Re(H(e^{-j\,\omega})))$$

Подобно, амплитудният спектър на една система определена чрез своята трансферна функция с преобразуването на Лаплас H(s), s = σ + j ω, изчислен при σ = 0, е |H(j ω)|, а фазовият спектър е arg(H(j ω)).

Пример: Честотен спектър на филтър с ограничен импулсен спектър

Един филтър с ограничен импулсен спектър a(k) с дължина N изчислява изходния сигнал y(k) от входния сигнал x(k) с формулата

$$y(k)=\sum_{n=0}^{N-1} a(n) \, x(k-n)$$

Преобразуването Z на двете страни на това уравнение дава

$$Z(y(k))=Z(\sum_{n=0}^{N-1} a(n) \, x(k-n))=Z(x(k)) \sum_{n=0}^{N-1} a(n) \, z^{-n}$$

и трансферната функция на филтъра е

$$H(z)=\frac{Z(y(k))}{Z(x(k))}=\sum_{k=0}^{N-1} a(k) \, z^{-k}$$

Така, амплитудният спектър на филтъра при някаква честота f е

$$|H(f)|=\sqrt{(\sum_{k=0}^{N-1} a(k) \, \cos(\frac{2\pi\,f\,k}{N}))^2+(\sum_{k=0}^{N-1} a(k) \, \sin(\frac{2\pi\,f\,k}{N}))^2}$$

Ако филтърът има коефициенти, които са симетрични спрямо средата, тогава можем да покажем, че фазовият спектър е следния (виж Фазов спектър).

$$\Phi(f)=\frac{2\pi\,f}{N} \frac{N-1}{2}$$

Пример: честотен спектър на едни слушалки

От време на време ще видиш честотния спектър на едни слушалки (или пък говорители), написан например като (20 Hz, 20 KHz). Това е едно доста опростено представяне на честотния спектър, което означава, че слушалките могат да възпроизведат честотите между 20 Hz и 20 KHz. Един входен сигнал, който съдържа честоти в този интервал, ще бъде възпроизведен от слушалките. Не се знае обаче, колко са добри тези слушалки при различните честоти. Може да се окаже, че един бас около 300 Hz е възпроизведен, но с по-ниска честота, което означава, че басът ще се чуе в слушалките, но слабо.