Преобразуване Z

Двустранното преобразуване Z е

$$Z(x(k))=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \, z^{-k}$$

където z = A e-j ω за някакво реално число A.

Мотивация за използването на преобразуването Z при работата с цифрови сигнали

Преобразуването Z е едно обобщение на преобразуването на Фурие в дискретизирано време, което се дава от

$$H(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \, e^{-j \, \omega \, k}$$

Както с другите преобразувания на Фурие, преобразуването на Фурие в дискретизирано време превежда един сигнал x(k), който е функция на времето с комплексни стойности, в множество от комплексни числа, които носят честотата и фазата на всяка от простите вълни в сигнала. Преобразуването на Фурие в дискретизирано време се използва, когато x(k) е дискретизиран, но не е определен само в ограничен интервал и не е периодичен (в другите случаи могат да се използват преобразуването на Фурие или дискретизираното преобразуване на Фурие). Преобразуването на Фурие в дискретизирано време е един логичен резултат от дискретизирането във времето на (вземането на проби) на входния сигнал x(t) в преобразуването на Фурие.

Двустранното преобразуване Z обобщава преобразуването на Фурие в дискретизирано време, като въвежда реалното число A, което представлява амплитудата на базата A e-j ω k на преобразуването.

$$H(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \, z^{-k}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \, A \, e^{-j \, \omega \, k}$$

Също така, преобразуването на Фурие в дискретизирано време е просто преобразуването Z с A = 1. Когато A = 1, базата на преобразуването се състои от числата e-j ω k, които в равнината на комплексните числа образуват един кръг с радиус 1 около началото. Така, можем да кажем, че преобразуването на Фурие в дискретизирано време е просто преобразуването Z, изчислено върху кръга единица.

Мотивацията за използването на преобразуването на Фурие в дискретизирано време при работата с цифрови сигнали е, че ни позволява да използваме един дискретизиран сигнал, но недискретизирани честотни и фазови диапазони. Мотивацията за използването на преобразуването Z при работата с цифрови сигнали, вместо преобразуването на Фурие в дискретизирано време, е само това, че нотацията е по-малко. Всъщност, при работата с цифрови сигнали, винаги ще използваме преобразуването Z върху кръга единица – с A = 1 – което означава, че всъщност ще използваме само преобразуването на Фурие в дискретизирано време и никога няма да използваме неговата обобщение – преобразуването Z. Ще използваме, обаче, нотацията на преобразуването Z. По-лесно е да напишем z-k вместо e-j ω k.

Някои полезни свойства на преобразуването Z

Едно от полезните свойства на преобразуването Z е, че е линейно подобно на преобразуванията на Фурие.

$$Z(a_1 x_1(k) + a_2 x_2(k))=a_1 Z(x_1(k))+a_2 Z(x_2(k))$$

Второ, изместването на сигнал x(k) във времето ни дава следното.

$$Z(x(k-m))=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k-m) \, z^{-k}$$ $$=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k-m) z^{-(k-m)} z^{-m}=Z(x(k)) \, z^{-m}$$

Това означава, че, ако изхода от системата a(k) при входа x(k) се дава от

$$y(k)=\sum_{n=0}^{N-1} a(n) \, x(k-n)$$

което пък означава, че a(k) може да е един филтър с ограничен импулсен спектър, тогава

$$Z(y(k))=Z(\sum_{n=0}^{N-1} a(n) \, x(k-n))=(\sum_{n=0}^{N-1} a(n) \, z^{-n}) Z(x(k))$$

и

$$H(z)=\frac{Z(y(k))}{Z(x(k))}=\sum_{n=0}^{N-1} a(n) \, z^{-n}$$

което е трансферната функция на системата a(k). Тази трансферна функция има интересни характеристики. При линейни системи, които са инвариантни спрямо времето, амплитудата |H(z)| на H(z), z = A e-j ω, когато е изчислена с A = 1 (върху кръга единица), дава амплитудния спектър на системата

$$|H(e^{-j \, \omega})|=\sqrt{Re(H(e^{-j \, \omega}))^2+Im(H(e^{-j \, \omega}))^2}$$

Фазовият спектър на системата е

$$\Phi(e^{-j \, \omega})=\mathrm{atan2}(\frac{Im(H(e^{-j \, \omega}))}{Re(H(e^{-j \, \omega}))})$$

Използваме нотацията |H(e-j ω)| и Φ(e-j ω) за да покажем, че амплитудният спектър и фазовият спектър са изчислени с e-j ω, а не със z = A e-j ω.

Примерна трансферна функция на един гребенов филтър с преобразуването Z

Един напредващ гребенов филтър е просто един прост дилей. Този филтър използва изчислението

$$y(k)=x(k)+g \, x(k-m)$$

където g е промяна в амплитудата, 1 – g е затихването на забавения сигнал и m е забавянето в брой проби. Преобразуването Z на двете страни на уравнението по-горе дава

$$Z(y(k))=Z(x(k)+g \, x(k-m))=Z(x(k))+g \, z^{-m} Z(x(k))=Z(x(k))(1+g \, z^{-m})$$

Трансферната функция на този гребенов филтър тогава е

$$H(z)=\frac{Z(y(k))}{Z(x(k))}=1+g \, z^{-m}$$

Амплитудният спектър на гребеновия филтър за някаква определена честота ω е

$$H(e^{-j \, \omega})=|1+g \, z^{-m}|=|1+g \, e^{-j\, \omega \, m}| = |1+g \, \cos(\omega \, m)-g \, \sin(\omega \, m)| $$ $$= \sqrt{(1+g \, \cos(\omega \, m))^2+(g \, \sin(\omega \, m))^2}= \sqrt{(1+g)^2+2 \, g \, \cos(\omega \, m)}$$

Тази функция на ω, като графика, дава характерният амплитуден спектър на филтъра, който наподобява един гребен, както по-долу. Този примерен напредващ гребенов филтър бе изчислен с пробната честота fs = 2000 Hz, забавянето m = 50 проби и с g = 0.8.

Амплитуден спектър на един напредващ гребенов филтър

Други примери

За други примери за използването на преобразуването Z, виж темите Гребенов филтър, Трансферна функция, Феномен на Гибс, Филтър на Батъруърт, Всичкопропускащ филтър и Филтър на Шрьодер и Муурър.

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.