Трансферна функция

Трансферната функция (или "предавателна функция") на една система е една математическа функция, която описва връзката между входа на системата и изхода от системата.

Примерни трансферни функции са показани по-долу. Тъй като при работата със сигналите, трансферните функции обикновено използват преобразуването на Лаплас при недискретизирани сигнали и преобразуването Z при дискретизираните сигнали, следното са определения на термина "трансферна функция" с тези две преобразувания.

Трансферни функции при работата със сигнали

В една система в непрекъснато време, която е линейна и независима (инвариантна) от времето и която произвежда изходния сигнал y(t) от входния сигнал x(t), трансферната функция H(s) дава връзката между изходния сигнал и входния сигнал с формулата

$$Y(s)=H(s)\,X(s)$$

където X(s) и Y(s) са двустранните преобразувания на Лаплас съответно на x(t) и y(t). В една система в дискретно време, която е линейна и инварианта във времето и която произвежда изходния сигнал y(k) от входния сигнал x(k), трансферната функция H(z) дава връзката между изходния сигнал и входния сигнал с формулата

$$Y(z)=H(z)\,X(z)$$

където X(z) и Y(z) са преобразуванията Z съответно на x(k) и y(k).

Избора на преобразуването на Лаплас и преобразуването Z

Опростено, преобразуването на Лаплас превръща една функция на времето в една функция на комплексната величина s = σ + j ω (σ и ω са реални числа; при работата със сигнали, ω обикновено е ъгловата честота).

Подобно, преобразуването Z превръща една функция на времето в една функция на комплексната величина z = A e j ω (A и ω са реални числа; при работата със сигнали, ω е пак ъгловата честота).

И в двата случая, системата, която работи със сигнала и следователно нейната трансферна функция се изследват когато амплитудата на входния сигнал е 1. По-лесно е да се измери влиянието на системата, ако входният сигнал е нормализиран. Преобразуването на Лаплас се използва със σ = 0 и s = j ω. Преобразуването Z се използва с A = 1 и z = e j ω. Това прави и двете преобразувания еквивалентни на преобразуването на Фурие (съответно недискретизираното и в дискретизирано време).

Накратко, работата със сигналите използва преобразуването на Фурие, но преобразуването на Лаплас и преобразуването Z правят изписването по-лесно. Също така, преобразуването на Лаплас улеснява превръщането на една функция за желан амплитуден спектър в една трансферна функция и следователно една система. Свойството на преобразуването Z за изместването във времето, комбинирано с по-краткото изписване, улеснява превръщането на трансферните функции в импулсни спектри (в самите изчисления на филтрите).

Линейни системи, независими от времето

Ако входните сигнали в една линейна система x1(t), x2(t), …, xn(t) произвеждат изходите y1(t), y2(t), …, yn(t), тогава входа a1 x1(t) + a2 x2(t) + … + an xn(t) ще произведе изхода a1 y1(t) + a2 y2(t) + … + an yn(t), като a1, a2, …, an са някакви константи. Това е така, защото една линейна система е асоциативна (тоест, изхода от x1(t) + x2(t) е изхода от x1(t) плюс изхода от x2(t), което е y1(t) + y2(t)) и защото линейната система е хомогенна от степен 1 (тоест, изхода от b x(t) е b умножено по изхода от x(t), което е b y(t)).

Една система, която е инвариантна във времето, произвежда един и същи изход ако получава същия вход, независимо от кога този вход идва. С други думи, ако изхода от x(t) е y(t), тогава изхода от x(t – T) е y(t – T), където T е една константа от време.

Примерите по-долу са примери на линейни системи, които са независими от времето. С прости думи, тези системи позволяват трансферни функции, които са независими от амплитудата на сигнала. Следователно, те могат да се изследват с нормализирани сигнали и преобразуването на Фурие. Тези системи влияят на сигналите по един и същи начин, независимо от това, дали сигналите са отделни или комбинирани. Накрая, тези системи работят с константи сигнали по един и съши начин в началото на сигнала, в средата, или в края.

Не всички системи за работата със сигнали са линейни или пък независими от времето. Дисторшънът и компресирането например не работят по линеен начин със сигнала. Компресорите с атака и отпускане са и зависими от времето.

Пример: трансферна функция на един "напредващ" гребенов филтър

Един "напредващ" гребенов филтър (един прост дилей) в дискретно време изчислява изходния сигнал y(k) от входния сигнал x(k) със следната формула.

$$y(k)=x(k)+b \, x(k-M)$$

Тук b е някаква константа (затихването на забавения сигнал) и M е цяло число (забавянето в брой проби). Ако вземем преобразуването Z на двете страни, ще получим

$$Y(z)=X(z)+b \, z^{-M} \, X(z)=X(z) (1+b \, z^{-M})$$

и съответната трансферна функция е

$$H(z) = 1 + b \, z^{-M}$$

По-долу, тази трансферна функция се използва за да се изчисли амплитудния спектър и фазовия спектър на този филтър.

Работа с трансферните функции

Да предположим, че искаме да видим как системата влияе на амплитудите на честотите (амплитудния спектър на системата). Спомни си, че преобразуванията на входния и изходния сигнал са функции на честотата. Интересуваме се от отношението на амплитудите при всяка честота.

$$\frac{|Y(z)|}{|X(z)|}=|H(z)|$$

Както по-горе, използваме преобразуването на Фурие, въпреки че използваме изписването на преобразуването Z. Така или иначе, преобразуванията превръщат една функция на времето в една функция на честотата. Получената функция на честотата има комплексни стойности. Вземаме амплитудата на тези комплексни стойности при входа и изхода и проверяваме тяхното отношение, което, както се оказва, е амплитудата на трансферната функция. Това е така заради определението на трансферната функция.

С примера за напредващия гребенов филтър, при z = e j ω и ако изпишем резултата като функция на ъгловата честота, имаме следното.

$$|H(\omega)|=|1+b \, z^{-M} |=|1+b \, e^{-j M \omega} |$$ $$=|1+b \, \cos(M\, \omega)-j \, b \, \sin(M \, \omega)|$$ $$=\sqrt{(1+b \, \cos(M \, \omega))^2+(b \, \sin(M \, \omega))^2}$$ $$=\sqrt{1+b^2+2 b \, \cos(M \, \omega)}$$

Тази функция ни показва какво гребеновият филтър ще направи с амплитудата на всяка честота ω. Периодичността на косинуса е това, което прави графиката на тази функция да прилича на един гребен.

Ако вместо това искаме да видим как системата влияе на фазата на честотата (фазовият спектър), ще изчислим разликата във фазите на входния сигнал и на изходния сигнал. Пак правим това при z = e j ω

$$\Phi(\omega)=\arg(Y(z))-\arg(X(z))=\arg(\frac{Y(z)}{X(z)})$$ $$=\arg(H(z))=atan2 (Im(H(z)),Re(H(z)))$$ $$=atan2(b \, \sin(M \, \omega),1+b \, \cos(M \omega)) $$

Изчисленията при трансферните функции, изразени с преобразуването на Лаплас, са подобни.

Трансферни функции и импулсни спектри

Един филтър за преработка на цифрови сигнали изчислява своя изходен сигнал y(k) от някои минали проби на входния сигнал x(k) и някакви минали проби на изходния сигнал по следния начин

$$y(k)=\sum_{i=1}^N a_i \, y(k-i)+\sum_{i=0}^M b_i \, x(k-i)$$

където ai и bi са скаларни величини. Това е една обобщена функция. Филтрите с ограничени импулсни спектри например са по-прости, защото изчисляват изходния сигнал y(k) само от пробите на входния сигнал x(k) и следователно използват ai = 0 за всички i.

Функцията по-горе е импулсния спектър на филтъра. По-важното е, че тази функция описва съответния филтър напълно.

Ако изчислим трансферната функция на филтъра с преобразуването Z, подобно на това, как изчислихме трансферната функция на гребеновия филтър по-горе, ще получим

$$H(z)=\frac{\sum_{i=0}^M b_i \, z^{-i}}{1-\sum_{i=1}^N a_i \, z^{-i}}, z=e^{j \omega}$$

Тази трансферна функция също напълно описва филтъра. Не е важно, дали описваме този филтър с неговия импулсен спектър или с неговата трансферна функция. Двете са еквивалентни.

Други трансферни функции

Виж Висчкопропускащ филтър за обобщената трансферна функция на всичкопропускащите филтри с неограничени импулсни спектри (IIR) и за изчисленията, които показват, че амплитудата на тази трансферна функция е винаги 1 (тоест, филтърът пропуска всички честоти с непроменена амплитуда).

Виж Фазов спектър за обобщената трансферна функция на филтри с ограничени импулсни спектри (FIR) и с коефициенти, които са симетрични спрямо средата и за изчисленията, които показват, че фазовият спектър на тази трансферна функция е линеен спрямо ъгловата честота.

Виж Филтър на Батъруърт за една примерна трансферна функция с преобразуването на Лаплас, която е изведена от желания амплитуден спектър и за примери на това, как тази трансферна функция може се превърне в един цифров филтър (например с обратното преобразуване на Лаплас и с билинейното преобразуване).

За други трансферни функции, виж описанието на различните филтри в Цифрова музика (индекс).

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.