Филтърът на Гаус обикновено се описва с формулата
$$\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \, e^{-\alpha \, x^2}$$
където α > 0 (обикновено, както по-долу, 0 < α < 1).
Като един филтър в дискретизирано време с дължина N и с коефициенти, които са симетрични спрямо средата, коефициентите на филтъра на Гаус са следните.
Коефициентите на филтъра на Гаус са
$$\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \, e^{-\alpha \, (k-\frac{N-1}{2})^2}$$
където N е дължината на филтъра, k = 0, 1, …, N – 1 и 0 < α < 1.
Следното е импулсният спектър на филтъра, при N = 101 и α = 0.25.
Филтърът на Гаус като един нискочестотен филтър или един високочестотен филтър
Както е определен, филтърът на Гаус е един плавен нискочестотен филтър. Амплитудният спектър на този филтър при честотата f (изчислен като амплитудата на неговото преобразуване на фуре) е
$$|H(f)|=e^{-\frac{(\frac{2 \, \pi \, f}{f_s})^2}{4 \, \alpha}}$$
където fs е пробната честота. Това следва директно от познатото преобразуване на Фурие на функцията на Гаус.
Изразен с ъгловата честота ω, амплитудният спектър на филтъра е
$$|H(f)|=e^{-\frac{\omega^2}{4 \, \alpha}}$$
За едно определено α, този амплитуден спектър намалява плавно, когато f (или ω) се увеличава. Заради това плавно намаляване при високите честоти, филтри на Гаус в две измерения се използват при работата с картинки за замъгляване.
Например, при N = 101 и α = 0.25, амплитудният спектър е следния.
Тъй като това е един филтър с ограничен импулсен спектър и с коефициенти, които са симетрични спрямо средата, този филтър може да се обърне в един високочестотен филтър, подобно на стандартния високочестотен филтър с функцията sinc (виж Високочестотен филтър).
Филтърът на Гаус при различни α
При по-големи α, лобът на импулсният спектър на филтъра става по-тесен. Амплитудният спектър на филтъра на Гаус намалява по-бавно, когато честотата се увеличава. Следното е амплитудния спектър на филтъра при три различни стойности на α: 0.25, 0.50, and 0.75.
Виж също:
Прозорец на Гаус
Добави нов коментар