Нискочестотен филтър

Един нискочестотен филтър е честотен филтър, който позволява (пропуска) честотите под някаква преходна честота и не позволява (спира) честотите над тази преходна честота.

Идеален нискочестотен филтър

Един идеален нискочестотен филтър е този, който пропуска всички ниски честоти – под преходната честота – с непроменена амплитуда и който напълно спира всички високи честоти. Амплитудата на ниските честоти в изходния сигнал ще бъде 100% от амплитудата на същите честоти във входния сигнал. Амплитудата на високите честоти в изходния сигнал ще бъде нула, независимо от това, какви са амплитудите на тези честоти във входния сигнал.

Следната графика показва амплитудния спектър на един идеален нискочестотен филтър с някаква преходна честота.

Амплитуден спектър на един идеален нискочестотен филтър

Всички честоти под преходната честота остават с тяхната входна амплитуда. Всички честоти над преходната честота са напълно премахнати.

Пример на един цифров нискочестотен филтър с ограничен импулсен спектър (FIR)

Един типичен филтър a(k) с ограничен импулсен спектър изчислява изходния сигнал y(n) от входния сигнал x(n) със следното средно аритметично.

$$y(n)=\sum_{k=0}^N a(k)\,x(n-k)$$

Един добър нискочестотен филтър a(k) е

$$a(k)=\begin{cases} \frac{\sin(\frac{2\pi f_c (k-\frac{N-1}{2})}{f_s})}{\pi(k-\frac{N-1}{2})}, k \ne \frac{N-1}{2} \\ 2 \frac{f_c}{f_s}, k=\frac{N-1}{2} \end{cases}$$

където fs е пробната честота, N е дължината на филтъра (броя на термините в средното аритметично), а fc е преходната честота.

Ако например fs = 2000 Hz, fc = 40 Hz и N = 201, амплитудният спектър на този филтър ще бъде както в следната графика.

Амплитуден спектър на един практичен цифров нискочестотен филтър с ограничен импулсен спектър

Амплитудният спектър на този филтър не е идеален. Така или иначе, филтърът оставя амплитудите на честотите под 40 Hz почти непроменени и понижава амплитудите на честотите над 40 Hz. Следователно, това е един нискочестотен филтър с преходната честота 40 Hz.

Пример на един цифров нискочестотен филтър с неограничен импулсен спектър (IIR)

Следното изчисление на изходния сигнал y(n) от входния сигнал x(n) е пример на един импулсно инвариантен нискочестотен филтър на Батъруърт от втори разряд

$$y(n)=0.22853 \, x(n-1)+1.19249 \, y(n-1)-0.42804 \, y(n-2)$$

с нормализирана преходна честота ωc = 0.6 (действителна преходна честота ωc * fs / (2π)). Този филтър има трансферната функция

$$H(z)=\frac{0.22853 \, z^{-1}}{1-1.19249 \, z^{-1}-0.42804 \, z^{-2}}$$

Ако вземем например пробната честота fs = 2000 Hz, преходната честота на този филтър става 0.6 * 2000 / (2π) = 191 Hz и съответният амплитуден спектър става следния.

Амплитуден спектър на един импулсно инвариантен нискочестотен филтър на Батъруърт от втори разряд

Този филтър запазва донякъде амплитудите на честотите под 191 Hz и намалява амплитудите на честотите над 191 Hz. Въпреки че този филтър не е идеален, това е един практичен нискочестотен филтър с преходна честота 191 Hz.

Извеждане на нискочестотния филтър с ограничен импулсен спектър

Търсеният амплитуден спектър на идеалния нискочестотен филтър може да се запише по следния начин.

$$|H(f)|=\begin{cases} 1, -\frac{f_c}{f_s} \le f \le \frac{f_c}{f_s} \\ 0, |f| \gt \frac{f_c}{f_s} \end{cases}$$

Това е идеалния амплитуден спектър на един нискочестотен филтър с нормализирана преходна честота fc / fs. Според теоремата за дискретизацията fc / fsпреобразуване на Фурие да произведе един филтър с реални, а не с комплексни коефициенти.

Отбелязваме F = fc / fs. Обратното преобразуване на Фурие върху идеалния амплитуден спектър е

$$a(t)=\int_{-F}^F e^{2\pi j f t} df=\frac{1}{2\pi j t}(e^{2\pi j F t}-e^{-2\pi j F t})=\frac{1}{\pi t} \sin(2\pi F t)$$

Функцията sin(t) / t е функцията sinc(t) и затова филтрите с ограничени импулсни спектри понякога се наричат sinc функции. Тази функция в уравнението по-горе има увеличаващи се осцилации (колебания) до t = 0, където тя е a(0) = 2 F и след което има намаляващи осцилации. За да създадем един дискретен филтър, дискретизираме тази функция между -1 и 1 с дадената пробна честота.

$$a(k)=\frac{\sin(\frac{2\pi f_c k}{f_s})}{\pi k}, k=-(f_s-1), …, f_s -1$$

Избираме един дискретен филтър с дължина N от средните N точки на дискретизираната функция a(k) и изместваме филтъра надясно с (N – 1) / 2. Това дава формулата за нискочестотния филтър с ограничен импулсен спектър, показана по-горе. В средата на филтъра, при k = (N – 1) / 2, използваме правилото на Лопитал, което казва, че, ако границите на знаменателя и числителя са нула и границите на производните съществуват, тогава границата на отношението е равна на отношението на границите на производните.

Друго извеждане

Използваме факта, че пускането на един сигнал през един филтър с ограничен импулсен спектър е просто конволюцията на филтъра със сигнала. Конволюцията на един синус и един косинус с честоти равни на цели числа n1 и n2 е нула, ако двете цели числа са различни и е нещо различно от нула, ако n1 = n2.

$$\sum_{m=0}^{f_s-1}\cos(\frac{2\pi n_1 m}{f_s}) \, \sin(\frac{2\pi n_2(k-m)}{f_s}) \approx \begin{cases} 0, n_1 \ne n_2 \\ \frac{f_s}{2} \sin(\frac{2\pi n_1 k}{f_s}), n_1 = n_2 \end{cases} $$

където една от тези две прости вълни в конволюцията е ограничена в един интервал от единица време и е нула извън този интервал. Резултатите от конволюцията на два косинуса и на два синуса са подобни. С други думи, конволюцията на един сигнал с една правилно ограничена проста вълна на косинус или синус връща същата тази вълна, ако тя съществува в сигнала или пък връща нула, ако вълната не съществува в сигнала. Това означава, че можем да създадем един филтър, като сумираме всички прости вълни, които искаме този филтър да пропуска.

$$a(k)=\sum_{m} \cos(\frac{2\pi m k}{f_s}), m \lt f_c, k=1, …, f_s-1$$

Тъй като събираме честоти равни на цели числа, можем да използваме следната формула на Диришле.

$$1+2\sum_{m=1}^M \cos(mx)=\frac{\sin((M+\frac{1}{2})x)}{\sin(\frac{x}{2})}$$

Изчисляваме

$$a(k)=\frac{1}{2}(\frac{\sin(\frac{2\pi(f_c+\frac{1}{2})k}{f_s})}{\sin(\frac{\pi k}{f_s})}-1), k=1,..., f_s-1$$

Отбелязваме, че конволюцията на две прости вълни с една и съща честота, но с амплитуда умножена по fs / 2. Така, умножаваме филтъра по 2 / fs. Отбелязваме също, че филтърът по-горе не може да бъде изчислен при k = 0, защото синусът в знаменателя ще даде нула. Използваме пак правилото на Лопитал. Също така изместваме филтъра така, че върхът му да е в средата.

$$a(k)=\begin{cases} \frac{1}{f_s}(\frac{\sin(\frac{2\pi(f_c+\frac{1}{2}) (k - \frac{f_s-1}{2})}{f_s})}{\sin(\frac{\pi (k-\frac{f_s-1}{2})}{f_s})}-1), k=1,..., f_s-1, k \ne \frac{f_s-1}{2} \\ \frac{1}{f_s} (2 (f_c+\frac{1}{2})-1), k=\frac{f_s-1}{2} \end{cases}$$

Накрая, този филтър е просто прекалено дълъг. Всяка проба в изходния сигнал с този филтър ще използва fs изчисление. Предпочитаме един по-къс филтър с дължина N точки.

$$a(k)=\begin{cases} \frac{1}{f_s}(\frac{\sin(\frac{2\pi(f_c+\frac{1}{2}) (k - \frac{N-1}{2})}{f_s})}{\sin(\frac{\pi (k-\frac{N-1}{2})}{f_s})}-1), k=1,..., f_s-1, k \ne \frac{N-1}{2} \\ \frac{1}{f_s} (2 (f_c+\frac{1}{2})-1), k=\frac{N-1}{2} \end{cases}$$

Тази формула е приблизително изчисление на първата формула по-горе. При fs = 2000 Hz, N = 101 и fc = 40 Hz например амплитудните спектри на първия филтър по-горе (в синьо) и на филтъра тук (в червено) са почти еднакви.

Амплитудни спектри на нискочестотни филтри с две различни форми

Вторият филтър всъщност е изведен с дискретизираното преобразуване на Фурие и затова е по-непрецизен.

Извеждане на нискочестотни филтри с неограничени импулсни спектри

Нискочестотните филтри с неограничени импулсни спектри също се извеждат от техните търсени амплитудни спектри. За един пример на това, как тези филтри се получават, виж темата Филтър на Батъруърт.

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.