Прозорец на Гаус

Коефициентите на прозореца на Гаус се дават от формулата

$$a(k)=e^{-0.5 (\frac{k-M}{\sigma \, M})^2}$$

където N е дължината на филтъра, M = (N – 1) / 2, k = 0, 1, …, N – 1, и σ > 0.

Един примерен прозорец на Гаус

Вземи например един нискочестотен филтър с ограничен импулсен спектър (FIR) и с дължина N = 201. Следната графика показва прозореца на Гаус при σ = 0.5.

Ако пробната честота е 2000 Hz и преходната честота на филтъра е 40 Hz, тогава импулсният спектър на филтъра с правоъгълен прозорец (без прозорец) и с прозореца на Гаус е както следва.

Амплитудният спектър на същия филтър е показан в графиката по-долу.

При по-големи стойности на σ, преходната лента на филтъра и разликата между амплитудите в лентата на пропускане и в лентата на спиране намаляват (преходната лента е по-малка, но атенюацията е по-лоша). Когато стойността на σ става безкрайно голяма (клони към безкрайност), прозореца на Гаус се приближава към правоъгълния прозорец. Ако пък σ клони към нула, прозореца на Гаус клони към един всичкопропускащ филтър.

Следната графика показва прозореца на Гаус при N = 201 за три различни стойности на σ (0.3, 0.5, и 0.7).

Амплитудният спектър на филтъра при тези стойности на σ, ако пробната честота е 2000 Hz и преходната честота е 40 Hz, е показан по-долу.

Измерения за прозореца на Гаус

Следната графика показва дискретизираното преобразуване на Фурие на прозореца на Гаус със σ = 0.3 върху дискретизираното преобразуване на Фурие на правоъгълния прозорец.

Измеренията за прозореца на Гаус са следните.

Приблизителен ограничен прозорец на Гаус

Горният прозорец на Гаус всъщност е един приблизителен ограничен прозорец на Гаус. Едно по-общо приближение на втория прозорец се дава от

$$a(k)= G(k) - \frac{G(-\frac{1}{2})(G(k+N)+G(k-N))}{G(-\frac{1}{2}+N)+G(-\frac{1}{2}-N)}$$ $$G(k)=e^{-0.5 (\frac{k-M}{\sigma \, M})^2}$$

Едно сравнение между прозореца на Гаус и ограничения прозорец на Гаус за N = 201 и σ = 0.5 е показано в следната графика.

Забележи, че ограниченият прозорец на Гаус не е непременно равен на 1 в средата.

Съответните амплитудни спектри, със същия филтър, който се използва по-горе, са показани в следната графика.

Измерения за приблизителния ограничен прозорец на Гаус

Измеренията за приблизителния ограничен прозорец на Гаус за три различни стойности на σ (0.3, 0.5 и 0.7) са следните.

Обобщен нормален прозорец

Едно друго обобщение на прозореца на Гаус е обобщения нормален прозорец, който се дава от следната формула.

$$a(k)=e^{-0.5 |\frac{k-M}{\sigma \, M}|^{\alpha}}$$

където α > 0 (обикновено α ≥ 1). При α = 2, обобщеният нормален прозорец става прозореца на Гаус. Когато α се увеличава, върхът на прозореца става по-плосък, преходната лента на съответния филтър става по-тясна, а атенюацията му в лентата на спиране става по-лоша. Когато α клони към безкрайност, обобщеният нормален прозорец клони към правоъгълния прозорец.

Следното е обобщения нормален прозорец при три различни стойности на α (2, 4 и 6) и със σ = 0.5.

Съответните амплитудни спектри, със същия филтър който се използва по-горе, при тези прозорци, са следните.

Измерения за обобщения нормален прозорец

Измеренията за обобщения нормален прозорец със σ = 0.5 и три различни стойности на α са следните.

Виж също:
Прозорец, Филтър на Гаус