Прозорец на Гаус

Коефициентите на прозореца на Гаус се дават от формулата

$$a(k)=e^{-0.5 (\frac{k-M}{\sigma \, M})^2}$$

където N е дължината на филтъра, M = (N – 1) / 2, k = 0, 1, …, N – 1, и σ > 0.

Един примерен прозорец на Гаус

Вземи например един нискочестотен филтър с ограничен импулсен спектър (FIR) и с дължина N = 201. Следната графика показва прозореца на Гаус при σ = 0.5.

Прозорец на Гаус

Ако пробната честота е 2000 Hz и преходната честота на филтъра е 40 Hz, тогава импулсният спектър на филтъра с правоъгълен прозорец (без прозорец) и с прозореца на Гаус е както следва.

Импулсен спектър на нискочестотен филтър със и без прозореца на Гаус

Амплитудният спектър на същия филтър е показан в графиката по-долу.

Амплитуден спектър на нискочестотен филтър със и без прозореца на Гаус

При по-големи стойности на σ, преходната лента на филтъра и разликата между амплитудите в лентата на пропускане и в лентата на спиране намаляват (преходната лента е по-малка, но атенюацията е по-лоша). Когато стойността на σ става безкрайно голяма (клони към безкрайност), прозореца на Гаус се приближава към правоъгълния прозорец. Ако пък σ клони към нула, прозореца на Гаус клони към един всичкопропускащ филтър.

Следната графика показва прозореца на Гаус при N = 201 за три различни стойности на σ (0.3, 0.5, и 0.7).

Прозорец на Гаус при три различни стойности на сигма

Амплитудният спектър на филтъра при тези стойности на σ, ако пробната честота е 2000 Hz и преходната честота е 40 Hz, е показан по-долу.

Амплитуден спектър на прозореца на Гаус при три различни стойности на сигма

Измерения за прозореца на Гаус

Следната графика показва дискретизираното преобразуване на Фурие на прозореца на Гаус със σ = 0.3 върху дискретизираното преобразуване на Фурие на правоъгълния прозорец.

Дискретизирано преобразуване на Фурие на прозореца на Гаус

Измеренията за прозореца на Гаус са следните.

σ 0.3 0.5 0.7
Кохерентна амплитуда 0.37 0.60 0.74
Еквивалентна лента на шума 1.89 1.23 1.08
Загуба при преработката -2.76 dB -0.91 dB -0.32 dB
Загуба на лоба -0.95 dB -2.12 dB -2.84 dB
Загуба при преработката в най-лошия случай -3.71 dB -3.04 dB -3.16 dB
Ниво на най-високия страничен лоб -64.3 dB -32.0 dB -20.9 dB
Спадане на страничните лобове -10.5 dB / октава, -34.8 dB / декада -7.5 dB / октава, -24.8 dB / декада -6.7 dB / октава, -22.3 dB / декада
Главният лоб е -3 dB 1.78 компонента 1.18 компонента 1.02 компонента
Главният лоб е is -6 dB 2.50 компонента 1.64 компонента 1.42 компонента
Корелация при застъпването при застъпване от 50% 0.060 0.311 0.431
Амплитудна гладкост при застъпване от 50% 0.497 0.936 0.878
Корелация при застъпването при застъпване от 75% 0.498 0.755 0.801
Амплитудна гладкост при застъпване от 75% 0.998 0.973 0.969

Приблизителен ограничен прозорец на Гаус

Горният прозорец на Гаус всъщност е един приблизителен ограничен прозорец на Гаус. Едно по-общо приближение на втория прозорец се дава от

$$a(k)= G(k) - \frac{G(-\frac{1}{2})(G(k+N)+G(k-N))}{G(-\frac{1}{2}+N)+G(-\frac{1}{2}-N)}$$ $$G(k)=e^{-0.5 (\frac{k-M}{\sigma \, M})^2}$$

Едно сравнение между прозореца на Гаус и ограничения прозорец на Гаус за N = 201 и σ = 0.5 е показано в следната графика.

Сравнение между прозореца на Гаус и ограничения прозорец на Гаус

Забележи, че ограниченият прозорец на Гаус не е непременно равен на 1 в средата.

Съответните амплитудни спектри, със същия филтър, който се използва по-горе, са показани в следната графика.

Амплитудни спектри на прозореца на Гаус и на ограничения прозорец на Гаус

Измерения за приблизителния ограничен прозорец на Гаус

Измеренията за приблизителния ограничен прозорец на Гаус за три различни стойности на σ (0.3, 0.5 и 0.7) са следните.

σ 0.3 0.5 0.7
Кохерентна амплитуда 0.37 0.57 0.61
Еквивалентна лента на шума 1.89 1.32 1.24
Загуба при преработката -2.77 dB -1.19 dB -0.94 dB
Загуба на лоба -0.95 dB -1.85 dB -2.07 dB
Загуба при преработката в най-лошия случай -3.71 dB -3.04 dB -3.01 dB
Ниво на най-високия страничен лоб -63.6 dB -30.3 dB -23.5 dB
Спадане на страничните лобове -18.4 dB / октава, -61.1 dB / декада -16.3 dB / октава, -54.3 dB / декада -16.1 dB / октава, -53.5 dB / декада
Главният лоб е -3 dB 1.78 компонента 1.26 компонента 1.20 компонента
Главният лоб е -6 dB 2.50 компонента 1.76 компонента 1.64 компонента
Корелация при застъпването при застъпване от 50% 0.059 0.261 0.313
Амплитудна гладкост при застъпване от 50% 0.498 0.841 0.720
Корелация при застъпването при застъпване от 75% 0.497 0.728 0.754
Амплитудна гладкост при застъпване от 75% 0.998 0.944 0.926

Обобщен нормален прозорец

Едно друго обобщение на прозореца на Гаус е обобщения нормален прозорец, който се дава от следната формула.

$$a(k)=e^{-0.5 |\frac{k-M}{\sigma \, M}|^{\alpha}}$$

където α > 0 (обикновено α ≥ 1). При α = 2, обобщеният нормален прозорец става прозореца на Гаус. Когато α се увеличава, върхът на прозореца става по-плосък, преходната лента на съответния филтър става по-тясна, а атенюацията му в лентата на спиране става по-лоша. Когато α клони към безкрайност, обобщеният нормален прозорец клони към правоъгълния прозорец.

Следното е обобщения нормален прозорец при три различни стойности на α (2, 4 и 6) и със σ = 0.5.

Обобщен нормален прозорец при три различни стойности на алфа

Съответните амплитудни спектри, със същия филтър който се използва по-горе, при тези прозорци, са следните.

Амплитуден спектър на един нискочестотен филтър с обобщения нормален прозорец при три различни стойности на алфа

Измерения за обобщения нормален прозорец

Измеренията за обобщения нормален прозорец със σ = 0.5 и три различни стойности на α са следните.

α 2 4 6
Кохерентна амплитуда 0.60 0.54 0.52
Еквивалентна лента на шума 1.23 1.56 1.71
Загуба при преработката -0.91 dB -1.94 dB -2.34 dB
Загуба на лоба -2.12 dB -1.30 dB -1.09 dB
Загуба при преработката в най-лошия случай -3.04 dB -3.24 dB -3.43 dB
Ниво на най-високия страничен лоб -32.0 dB -19.7 dB -16.3 dB
Спадане на страничните лобове -7.5 dB / октава, -24.8 dB / декада -13.2 dB / октава, -44.0 dB / декада -30.8 dB / октава, -102.4 dB / декада
Главният лоб е -3 dB 1.18 компонента 1.50 компонента 1.62 компонента
Главният лоб е -6 dB 1.64 компонента 2.06 компонента 2.22 компонента
Корелация при застъпването при застъпване от 50% 0.311 0.143 0.086
Амплитудна гладкост при застъпване от 50% 0.936 0.825 0.821
Корелация при застъпването при застъпване от 75% 0.755 0.635 0.582
Амплитудна гладкост при застъпване от 75% 0.973 0.948 0.900

Виж също:
Прозорец

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.