Квадратна вълна

Една квадратна вълна е периодична функция, която приема само две стойности – една минимална и една максимална – и превключва между двете стойности на равни интервали.

В дискретизирано време например, ако N е периода на функцията, тогава функцията

$$x(k)=\begin{cases} -1, \,\, k \mod \, N \lt\frac{N}{2} \\ 1, \,\, k \mod N \ge \frac{N}{2} \end{cases}$$

е квадратна вълна. Превключва между -1 и 1. Периодът и е N семпли. Взема всяка от стойностите за интервали равни на N/2 преди да мине на другата стойност.

Или пък

$$x(k)=\mathrm{sgn}(\sin(\frac{2 \pi\,k\,f}{f_s}))$$

защото функцията за знака "sgn" е равна на 1, когато нейният аргумент е положителен и на -1, когато нейният аргумент е отрицателен. Трябва обаче да се внимава, когато аргументът е нула, защото, както функцията обикновено е определена, sgn(0) = 0. Тук, f е желаната честота на квадратната вълна и f_s е пробната честота.

Ако например N = 60, тогава първата функция по-горе ще бъде както в следната графика.

Следното е една квадратна вълна с честотата на средното До.

Щракни за да чуеш квадратната вълна.

Работа с квадратните вълни

Анализът на честотното съдържание на квадратните вълни показва, че за тях може да се мисли като за една комбинация от много хамроници. Следното например е дискретизираното преобразуване на Фурие от 500 компонента на примерната квадратна вълна по-горе.

Хармониците в квадратната вълна са честотите, получени от честотата на квадратната вълна, умножена по всяко цяло число. Забележи равномерните върхове в амплитудите на честотите, които съществуват в квадратната вълна.

Заради тези хармоници, квадратните вълни често се използват в синтезаторите. Квадратни вълни със желаните хармоници могат да се комбинират и резултата може да се филтрира (например, с един нискочестотен филтър) за да се синтезира звук, подобен на този от някакъв определен инструмент.

Хармоници на квадратната вълна

Върховете в преобразуването на Фурие на една квадратна вълна с честота f са при нечетните хармоници на f, които са (2k – 1) f, k = 1, 2, …. Тъй като честотата на квадратната вълна в графиката по-горе например е 33.3 Hz, върховете са при 33.3 Hz, 100 Hz, 166.7 Hz, 233.3 Hz и така нататък.

С други думи, квадратната вълна, изразена с реда на Фурие, е една безкрайна сума от нечетни хармоници на честотата на квадратната вълна.

Ред на Фурие на квадратната вълна

Реда на Фурие на квадратната вълна при проба k е следното.

$$\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(\frac{2\,\pi\,k\,(2n-1)\,f}{f_s})}{2\,n -1}$$

където f е честотата на квадратната вълна и f_s е пробната честота.

Следните четири показват първия член на сумата в реда, сумата на първите два члена, сумата на първите три члена и сумата на първите осем члена при f = 33.3 Hz, f_s = 16000 Hz и за първите около 500 проби k на хоризонталната ос.

Вълните при точките, където квадратната вълна променя своята стойност, са резултата на феномена на Гибс – приблизителното изчисление на една прекъсната функция със непрекъснати функции.