Триъгълна вълна

Една триъгълна вълна е една периодична функция, която се увеличава линейно от една минимална стойност към една максимална стойност и след това намалява линейно, със същата скорост, обратно към минималната стойност.

В дискретизирано време, един интуитивен начин да се определи вълната е просто да се определят нейните части. Ако например N е периода на функцията, тогава функцията

$$x(k)=\begin{cases}-1+ \frac{k\,mod\,N}{\frac{N}{4}}, k\,mod\,N \le \frac{N}{2} ,\\ 3- \frac{k\,mod\,N}{\frac{N}{4}}, k\,mod\,N \gt \frac{N}{2} \end{cases}$$

е една триъгълна вълна. Увеличава се от -1 до 1 за N/2 проби и след това намалява до -1 в следващите N/2 проби. Периодът и е N проби.

Има и други начини да се определи триъгълната вълна. Следната функция също произвежда една триъгълна вълна (извади N/4 от k за да получиш една триъгълна вълна със същата фаза, като тази по-горе).

$$x(k)=\frac{2}{\pi} \, \arcsin(\sin(\frac{2\,\pi\,k}{N}))$$

Ако например N = 40, тогава първата триъгълна вълна по-горе ще бъде следната.

Следното е една триъгълна вълна с дължина 5 секунди и с честотата на средното До.

Щракни за да чуеш триъгълната вълна.

Работа с триъгълните вълни

Както квадратните вълни и вълните трион, триъгълните вълни са богати на хармоници. Следното е дискретизираното преобразуване на Фурие с 500 компонента на примерната триъгълна вълна в горната графика.

Заради тези хармоници – равно разпределените върхове в тази графика – триъгълната вълна се използва в синтезаторите. За да се имитира звука на един инструмент, триъгълните вълни (а и квадратните вълни и други) с желаните хармоници могат да се комбинират и резултата да се пусне през един филтър (например през един нискочестотен филтър).

Хармоници на триъгълната вълна

Върховете в преобразуването на Фурие на триъгълната вълна с честота f са при нечетните хармоници на f. Например, тъй като честота на триъгълната вълна в горната графика е 50 Hz, върховете са при 50 Hz, 150 Hz, 250 Hz и така нататък.

С други думи, реда на Фурие на триъгълната вълна е една безкрайна сума на нечетните хармоници на честотата на триъгълната вълна (както по-долу, всеки друг е с обърната фаза).

Ред на Фурие на триъгълната вълна

Редът на Фурие при проба k на триъгълната вълна е следния.

$$\frac{8}{\pi^2} \, \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \sin(\frac{2\,\pi\,k\,(2n-1)\,f}{f_s})}{n^2}$$

където f е честотата на триъгълната вълна и f_s е пробната честота.

Следните четири графики показват първия член на сумата в реда, сумата от първите два члена, сумата от първите три члена и сумата от първите осем члена при f = 33.3 Hz, f_s = 16000 Hz и за първите около 500 проби k на хоризонталната ос.

Триъгълната вълна надвишава желаната амплитуда 1 отгоре и отдолу заради феномена на Гибс.