Преобразуване на Хилбърт

Доста от теорията за цифрови сигнали изисква работа с отрицателни честоти. Отрицателните честоти не означават нищо на практика и използването им при работата с цифрови сигнали създава проблем. Оказва се, обаче, че е лесно да се превърне един сигнал, който съдържа отрицателни честоти, в един сигнал, който не ги съдържа.

Едно преобразуване, което премахва отрицателните честоти от един аналитичен сигнал, се нарича преобразуване на Хилбърт.

Вземи един сигнал x(t), който съдържа положителните и отрицателните честоти ω и -ω.

$$x(t) =e^{j\,\omega\,t}+e^{-j\,\omega\,t}$$

Едно добро преобразуване на Хилбърт H(x(t)) е нещо, което отмества сигнала с -π / 2 при положителните честоти и с π / 2 при отрицателните честоти.

$$H(x(t)) =e^{j\,\omega\,t-\frac{\pi}{2}}+e^{-j\,\omega\,t+\frac{\pi}{2}}=-j\,e^{j\,\omega\,t}+j\,e^{-j\,\omega\,t}$$

Тогава

$$x(t)+j\,H(x(t)) =e^{j\,\omega\,t}+e^{-j\,\omega\,t}-j^2\,e^{j\,\omega\,t}+j^2\,e^{-j\,\omega\,t}=2\,e^{j\,\omega\,t}$$

Така, преобразуването на Хилбърт, умножено по j и добавено към оригиналния сигнал е интересно от аналитична гледна точка, защото може да се използва за да превърне един сигнал с положителни и отрицателни честоти в един сигнал, който съдържа само положителни честоти. Това преобразуване на Хилбърт е интересно и от практическа гледна точка, защото отмества положителните честоти с точно -π / 2 или с една четвърт от дължината на техния период.

Филтри с ограничени или неограничени импулсни спектри, които работят приблизително като едно преобразуване на Хилбърт, съществуват. Един от начините да се създаде един такъв филтър е да се използва желания честотен спектър на преобразуването

$$H(\omega)=\begin{cases} e^{j \frac{\pi}{2}}, \omega \lt 0 \\ 0, \omega=0 \\ e^{-j \frac{\pi}{2}}, \omega \gt 0 \end{cases}$$

или, по-точно, дискретизираната версия (за N нечетно)

$$H(k)=\begin{cases} j, k=1,2,...,\frac{N-1}{2} \\ 0, k=0 \\ -j, k=\frac{N+1}{2}, ..., N-1 \end{cases}$$

и да се използва дискретизираното обратно преобразуване на Фурие.

Получаваме преобразуването на Хилбърт

$$a(k)=\frac{1}{N} (cot(\frac{\pi\,k}{2})-\frac{cos(\pi\,k)}{sin(\frac{\pi\,k}{N})})$$

Когато N е четно, можем по същия начин да получим

$$a(k)=\frac{2}{N} sin^2(\frac{\pi\,k}{2})\,cot(\frac{\pi\,k}{2})$$

И в двата случая, когато N е нечетно и когато N е четно, a(k) = 0 при k = 0, 2, 4, ….

За много къси преобразувания (например N = 10), преобразуването на Хилбърт може да се изчисли приблизително с

$$a(k)=\begin{cases} 0, k \,четно \\ \frac{2}{\pi\,k}, k\, нечетно \end{cases}$$

Едно преобразуване на Хилбърт като филтър с ограничен импулсен спектър и с дължина 101 е показано по-долу.

Филтър с преобразуването на Хилбърт

Следната графика показва, че този филтър измества една вълна от 100 Hz, дискретизирана с пробната честота 2000 Hz, с една четвърт от нейния цикъл.

Примерен ефект на преобразуването на Хилбърт

Тъй като филтърът е ограничен и не е идеален, не запазва амплитудата на всички честоти. Честотният (амплитудният) спектър на този примерен филтър в началото на честотния диапазон е следния.

Честотен спектър на едно примерно преобразуване на Хилбърт

Този филтър има подобна загуба на амплитудата близо до половината от пробната честота. Това е един средночестотен филтър. Загубата на амплитуда в двата края на честотния диапазон е по-малка с по-дълги филтри и изчезва по-бързо в горния край на честотния диапазон и по-бавно в долния край. Честотния спектър на преобразуването на Хилбърт има характерните вълни на феномена на Гибс, които могат да се променят със същите прозорци, които се използват при други филтри с ограничени импулсни спектри.

Използване на преобразуването на Хилбърт

Тъй като преобразуването на Хилбърт измества всички честоти в сигнала с -π / 2, този филтър е идеален за намирането на амплитудната обвивка на сигнала, въпреки че фактът, че този филтър пропуска само част от честотния диапазон означава, че той е по-добър, когато се използват тесни честотни ленти. За да произведем амплитудната обвивка на сигнала x(k), използваме преобразуването на Хилбърт на сигнала H(x(k)) и следното изчисление

$$Обвивка=\sqrt{x(k)^2+H(x(k))^2}$$

По-долната графиката показва един сложен сигнал x(k) дискретизиран с 2000 Hz и който се състои от две прости вълни с честоти 100 Hz и 130 Hz и с променяща се амплитуда. Амплитудната обвивка е изчислена с горната формула.

Пример за намирането на амплитудната обвивка

Амплитудните обвивки имат много приложения. В продуцирането на аудио, амплитудните обвивки се използват в компресорите и декомпресорите на динамиката.

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.