Питагореево умерена гама

Честотата на една нота не е точно определена. Нотите са настроени една спрямо друга и така, в зависимост от нотата, с която започнем, честотата, която изберем за нея и начина, по който настроим другите ноти, може да получим най-различни честоти за нотите.

Питагореево умерената гама, също така наречена "питагореева настройка", е начин да се изчислят честотите на гамата от дванадесет полутона (хроматичната гама), като се започне с някаква произволна базова нота с произволна честота и като се използва само отношението 3:2 за да се изчислят правилно умерената пета на всяка нота.

Следното е пример на питагореево умерената гама построен от Ла = 440 Hz.

Ако започнем с Ла = 440 Hz и умножим това Ла = 440 Hz по три, ще получим най-близкият нечетен хармоник на Ла, който е Ми = 1320 Hz. Ако разделим това Ми на две ще получим Ми в по-долната октава, което е Ми = 660 Hz. Така, Ми = 440 * (3 / 2) = 660 Hz, е петата на A = 440 Hz, седем полутона нагоре. От друга страна пък, както в таблицата по-горе, можем да понижим Ми даже и в по-долната октава, за да получим E = 330 Hz. Петата на Ми = 330 Hz, седем полутона нагоре, е Си = 330 * 3 / 2 = 495 Hz. Си може и да бъде изчислено направо от Ла, като Си = 440 * ((3/2)^2) / 2. Може да продължим в тази посока, като изчислим петата на Си, която е Фа диез / Сол бемол = 440 * ((3/2)^3) / 4 = 371.25 (тази е свалена една октава надолу от петата на Си с 495 Hz).

Това, че петата на една нота е със седем полутона нагоре или със пет полутона надолу в зависимост от октавата, е добре за една октава от 12 полутона. Тъй като 12 и 7 нямат общи делители, този процес може да се използва за да се изчислят всички ноти в гамата от 12 полутона. Ако искаме да работим с близки хармоници на базовата честота, вместо само да умножаваме по 3/2 нагоре, можем и да започнем от Ла = 440 Hz и да умножаваме по 2/3 за да изчислим нотите надолу. Ла например е петата на Ре и следователно Ре = 440 * 2 / 3. Ако преместим този резултат с една октава нагоре ще получим Ре = 440 * (2 / 3) * 2 = 586.67 Hz. Ре е петата на Сол = 391.11 Hz и така нататък.

Проблемът с това, че изчисляваме и в двете посоки, е, че в един момент ще изчислим Ми бемол = 440 * ((3/2)^6) / 8 = 313.24 и Ре диез = 440 * ((2/3)^6) * 8 = 309.03 (Ре диез в таблицата по-горе е даден с една октава нагоре). Така, в питагореевата настройка Ре диез и Ми бемол са две различни ноти. Разликата между тези две ноти е приблизително 23.46 цента (1200 * log2 (313.24 / 309.03) = 23.46), което е почти четвърт тон (25 цента). Ако Ре диез и Ми бемол са различни, тогава интервалите около тези ноти не са добре настроени. Такива интервали се наричат вълчи интервали. Вълчият интервал е пример на един от проблемите с правилно умерените гами. Проблемът тук зависи от това, как използваме отношението 3/2. Ако винаги изчисляваме Ла в по-горната октава като Ла умножена по две и винаги започваме с Ла при настройката на всяка октава, тогава проблемът не е толкова голям (но това пък и не е питагореевата настройка).

Така или иначе, питагореево умерената гама е една правилно умерена гама, защото използва рационални числа за да изчисли нотите и следователно използва хубави хармоници на честотата на базовата нота. Така изчислените честоти са различни от тези, изчислени с една равномерна гама, защото не разделят интервала между базовата нота (Ла = 440 Hz в примера тук) и същата нота в по-горната октава (Ла = 880 Hz в примера тук) на равни интервали. Една равномерна гама ще изчисли Ла диез = 466.16 Hz например, а не Ла диез = 469.86 Hz както в примера тук. Както при всички правилно умерени гами, питагореевата гама има ноти, които звучат добре заедно, защото са хармоници една на друга, но една мелодия, която използва тези ноти може да звучи различно, ако се транспонира, понеже полутоновете в гамата не са едни и същи между всеки две съседни ноти.

Едно примерно изчисление на питагореевата настройка е показано в темата Честота на нотите.

Виж също:
Гама, Гама (индекс)