Прозорец на Кайзер

Коефициентите на прозореца на Кайзер се дават от формулата

$$a(k)=\frac{I_0(\pi\,\alpha \sqrt{1-(\frac{2k}{N-1}-1)^2}\,)}{I_0(\pi\,\alpha)}$$

където N е дължината на филтъра, k = 0, 1, …, N – 1, α е някакво реално число и I₀ е нулевия ред на модифицираната функция на Бесел от първи разряд.

Изчисляване на прозореца на Кайзер

Модифицираната функция на Бесел от първи разряд (хиперболичната функция на Бесел) е следната.

$$I_{\beta}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,\Gamma(n+\beta+1)}(\frac{x}{2})^{2n+\beta}$$

където β е реда на функцията и Γ е обобщения факториал.

Забележете, че за всяко положително цяло число n, Γ(n) = (n – 1)!. Тогава, при β = 0, Γ(n + β + 1) = (n + 0 + 1 – 1)! = n!. Това означава, че модифицираната функция на Бесел от първи разряд и нулев ред е просто

$$I_0(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n!})^2(\frac{x}{2})^{2n}$$

Тъй като сумата по-горе е ограничена и клони към крайна стойност, тя може да се изчисли приблизително за всяко x, като се вземат само първите няколко аргументи, като например

$$I_0(x)=\sum_{n=0}^{M}(\frac{1}{n!})^2(\frac{x}{2})^{2n}$$

Самият прозорец на Кайзер, ако изпишем числителя и знаменателя както по-горе, може да се изчисли по следния начин.

$$a(k)=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n!})^2(\frac{\pi\, \alpha \sqrt{1-(\frac{2k}{N-1}-1)^2}}{2})^{2n}}{\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n!})^2(\frac{\pi\, \alpha}{2})^{2n}}$$

Както преди, двете суми клонят към крайна стойност и могат да се изчислят приблизително, като се вземат само първите няколко аргумента.

Пример за прозореца на Кайзер

Вземи например един нискочестотен филтър с краен импулсен спектър (FIR) и с дължина N = 201. Следното е прозореца на Кайзер при α = 3 и M = 4.

Ако пробната честота е 2000 Hz и преходната честота на филтъра е 40 Hz, тогава импулсният спектър на филтъра с правоъгълен прозорец (без прозорец) и с прозореца на Кайзер е следният.

Амплитудният спектър на същия филтър е показан в графиката по-долу.

Когато |α| се увеличава, филтърът има широка преходна лента, но по-добра атенюация в лентата на спиране. Когато |α| намалява, филтърът има по-тясна преходна лента, но по-лоша атенюация. Когато α = 0, прозорецът на Кайзер става правоъгълен прозорец.

Прозорецът на Кайзер при N = 201 и при три различни стойности на α (0.5, 1 и 5) е показан в следната графика.

Следната графика показва амплитудните спектри на тези прозорци, при филтъра с преходна честота 40 Hz и при пробна честота 2000 Hz.

Измерения за прозореца на Кайзер

Следната графика сравнява дискретизираното преобразуване на Фурие на прозореца на Кайзер (α = 1.0) и на правоъгълния прозорец.

Следното са измеренията на прозореца на Кайзер.

Виж също:
Прозорец