Прозорец на Кайзер

Коефициентите на прозореца на Кайзер се дават от формулата

Формула за прозореца на Кайзер

където N е дължината на филтъра, k = 0, 1, …, N – 1, α е някакво реално число и I0 е нулевия ред на модифицираната функция на Бесел от първи разряд.

Изчисляване на прозореца на Кайзер

Модифицираната функция на Бесел от първи разряд (хиперболичната функция на Бесел) е следната.

Модифицирана функция на Бесел от първия разряд

където β е реда на функцията и Γ е обобщения факториал.

Забележете, че за всяко положително цяло число n, Γ(n) = (n – 1)!. Тогава, при β = 0, Γ(n + β + 1) = (n + 0 + 1 – 1)! = n!. Това означава, че модифицираната функция на Бесел от първи разряд и нулев ред е просто

Нулев ред на модифицираната функция на Бесел от първи разряд

Тъй като сумата по-горе е ограничена и клони към крайна стойност, тя може да се изчисли приблизително за всяко x, като се вземат само първите няколко аргументи, като например

Приблизително изчисление на нулевия ред на модифицираната функция на Бесел от първи разряд

Самият прозорец на Кайзер, ако изпишем числителя и знаменателя както по-горе, може да се изчисли по следния начин.

Опростена формула за прозореца на Кайзер

Както преди, двете суми клонят към крайна стойност и могат да се изчислят приблизително, като се вземат само първите няколко аргумента.

Пример за прозореца на Кайзер

Вземи например един нискочестотен филтър с краен импулсен спектър (FIR) и с дължина N = 201. Следното е прозореца на Кайзер при α = 3 и M = 4.

Прозорец на Кайзер

Ако пробната честота е 2000 Hz и преходната честота на филтъра е 40 Hz, тогава импулсният спектър на филтъра с правоъгълен прозорец (без прозорец) и с прозореца на Кайзер е следният.

Импулсен спектър на нискочестотен филтър със и без прозореца на Кайзер

Амплитудният спектър на същия филтър е показан в графиката по-долу.

Амплитуден спектър на нискочестотен филтър със и без прозореца на Кайзер

Когато |α| се увеличава, филтърът има широка преходна лента, но по-добра атенюация в лентата на спиране. Когато |α| намалява, филтърът има по-тясна преходна лента, но по-лоша атенюация. Когато α = 0, прозорецът на Кайзер става правоъгълен прозорец.

Прозорецът на Кайзер при N = 201 и при три различни стойности на α (0.5, 1 и 5) е показан в следната графика.

Прозорец на Кайзер за три различни стойности на алфа

Следната графика показва амплитудните спектри на тези прозорци, при филтъра с преходна честота 40 Hz и при пробна честота 2000 Hz.

Амплитуден спектър на прозореца на Кайзер за три различни стойности на алфа

Измерения за прозореца на Кайзер

Следната графика сравнява дискретизираното преобразуване на Фурие на прозореца на Кайзер (α = 1.0) и на правоъгълния прозорец.

Дискретизирано преобразуване на Фурие на прозореца на Кайзер

Следното са измеренията на прозореца на Кайзер.

α 0.5 1.0 5.0
Кохерентна амплитуда 0.85 0.67 0.42
Еквивалентна лента на шума 1.02 1.15 1.76
Загуба при преработката -0.10 dB -0.62 dB -2.44 dB
Загуба на лоба -3.31 dB -2.42 dB -1.05 dB
Загуба при преработката в най-лошия случай -3.41 dB -3.04 dB -3.49 dB
Ниво на най-високия страничен лоб -16.6 dB -24.6 dB -38.6 dB
Спадане на страничните лобове -6.4 dB / октава, -21.2 dB / декада -7.3 dB / октава, -24.2 dB / декада -15.5 dB / октава, -51.6 dB / декада
Главният лоб е -3 dB 0.96 компонента 1.10 компонента 1.68 компонента
Главният лоб е -6 dB 1.30 компонента 1.52 компонента 2.34 компонента
Корелация при застъпването при застъпване от 50% 0.479 0.370 0.080
Амплитудна гладкост при застъпване от 50% 0.895 0.829 0.691
Корелация при застъпването при застъпване от 75% 0.794 0.783 0.559
Амплитудна гладкост при застъпване от 75% 0.974 0.958 0.991

Виж също:
Прозорец

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.