Загуба на лоба

Загубата на лоба на един прозорец a(k) с дължина N е

$$SL=\frac{|\sum_{k=0}^{N-1}a(k) e^{-\frac{j \pi k}{N}}|}{\sum_{k=0}^{N-1}a(k)}=\frac{\sqrt{(\sum_{k=0}^{N-1} a(k) \cos(\frac{\pi k}{N}))^2+(\sum_{k=0}^{N-1} a(k) \sin(\frac{\pi k}{N}))^2}}{\sum_{k=0}^{N-1} a(k)}$$

Загубата на лоба е кохерентната амплитуда на една честота, която по средата между два компонента на дискретизираното преобразуване на Фурие, разделена на кохерентната амплитуда на прозореца, както е обяснено по-долу.

Обосновка на загубата на лоба

Следното е графика на максималната стойност на дискретизираното преобразуване на Фурие от 40 точки върху прости синусоиди с различни честоти между 20 Hz и 80 Hz, като пробната честота е 400 Hz.

Графиката наподобява един фестон (от англ., "scallop"; украсяващите лупинги на пердетата или покривките). Най-голямата "загуба", местата където преобразуването на Фурие е най-непрецизно, е (приблизително) в средата между компонентите на преобразуването. При пробната честота 400 Hz, едно преобразуване от 40 точки ще има компоненти 0 Hz, 20, Hz, 40, Hz, …, 380 Hz. Най-голямата загуба е при 30 Hz, 50 Hz и така нататък. Така, загубата на лоба е най-голямата загуба, която се дължи на честотата.

Загубата на лоба и прозорците

Вземи следната графика.

Това е дискретизираното преобразуване на Фурие от 20 компонента на синусоидата с честота 80 Hz, дискретизирана с пробната честота 400 Hz. Вместо да вземе преобразуването на вълната само при 20-те компонента обаче (0 Hz, 20 Hz, 40 Hz, …, 380 Hz), графиката показва преобразуването и при честоти между компонентите. Ако преобразуването беше изчислено само при честотите на компонентите, тогава графиката щеше да покаже само 0 dB при 80 Hz и на практика доста големи отрицателни числа при всички други компоненти. Между компонентите обаче, има спектрално разсейване. По средата между компонентите, получаваме -4.11 dB. Това е загубата на лоба без прозорец (с правоъгълния прозорец).

Да предположим, че използваме прозореца на Хан от 20 точки върху синусоидата преди да изчислим дискретизираното преобразуване на Фурие. Резултатът е показан в следната графика. Преобразуването след прозореца на Хан е показано с една непрекъсната линия. Преобразуването без прозореца е с една пунктирана линия.

Преобразуването след прозореца на Хан в тази графика е настроено с кохерентната амплитуда на прозореца. Загубата на лоба с прозореца на Хан е -1.28 dB. Така, загубата на лоба е измерение за формата на главния лоб на преобразуването на Фурие на прозореца.

Този пример, разбира се, изчислява загубата на лоба по-средата между два случайно избрани компоненти и при един доста къс прозорец. С формулата по-горе и при по-дълги прозорци, загубата на лоба на прозореца на Хан ще бъде приблизително -1.42 dB (обикновено записана без минуса, тъй като е "загуба").

Загуба на лоба при често срещани прозорци

Следната таблица показва загубата на лоба (в децибели) за някои от често срещаните прозорци (с определенията на тези прозорци, дадени в този сайт).