Кохерентна амплитуда

Кохерентната амплитуда на един прозорец a(k) с дължина N е

$$CG=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} a(k)$$

Както е изчислена, тази кохерентна амплитуда е нормализирана за дължината на прозореца N.

Пример на приложението на кохерентната амплитуда

Вземи един сигнал x(k) с честота 60 Hz върху пробната честота 400 Hz.

$$x(k)=sin(\frac{2\pi k \,60}{400})$$

Да предположим, че използваме дискретизираното преобразуване на Фурие с 20 компонента за да изчислим амплитудата |H(m)| на честотите 0 Hz, 20 Hz,…, 380 Hz в този сигнал.

$$H(m)=\sum_{k=0}^{M-1} x(k) e^{-\frac{2\pi\,j\,k\,m}{N}}$$ $$=\sum_{k=0}^{M-1} x(k) cos(\frac{2\pi\,k\,m}{N})-j \sum_{k=0}^{M-1} x(k) sin(\frac{2\pi\,k\,m}{N})$$ $$|H(m)|=\sqrt{(Re(H(m)))^2+(Im(H(m)))^2}$$

M = 20, m = 0, 1, …, M – 1. Амплитудата на 60 Hz в x(k) ще бъде изчислена като 10, а амплитудите на останалите честоти ще бъде приблизително нула. Това е така, защото честотата 60 Hz е кратно на стъпката на преобразуването на Фурие, равна на 20 Hz, и се хваща добре в първите 20 проби. Изчисленото амплитудно съдържание на x(k) е показано в следната графика.

Графика на амплитудното съдържание на примерния сигнал, изчислено с преобразуването на Фурие

Преобразуването на Фурие не е толкова прецизно при всички честоти. При x(k) = 55 Hz например ще получим следната графика.

Амплитудно съдържание на втория примерен сигнал, изчислено с преобразуването на Фурие

Този сигнал не се хваща добре (не извършва едно цяло число цикли) в първите 20 проби и затова неговата амплитуда се разлива върху останалите компоненти на преобразуването на Фурие. Това е спектрално разсейване.

За да облекчим това спектрално разсейване, можем да използваме един прозорец върху сигнала x(k). Следната графика показва амплитудното съдържание на сигнала, изчислено с преобразуването на Фурие, преди и след прилагането на прозореца на Хан върху сигнала. Прозорецът на Хан, който се използва тук, е с дължина M = 20, дължината на преобразуването на Фурие. Тази графика е изчислена с нагаждане за кохерентната амплитуда на прозореца, както е обяснено по-долу.

Амплитудно съдържание на примерния сигнал преди и след прозореца на Хан

Прозорецът намалява спектралното разсейване, защото намалява сигнала в двата края на 20-те семпли и, следователно, дали сигнала се хваща добре в тези 20 семпли или не, не е толкова важно. В горната графика, амплитудите с прозореца са по-концентрирани около действителната честота на сигнала. Преобразуването на Фурие е по-прецизно.

Следното е сигнала преди и след прозореца.

Един примерен сигнал преди и след прозореца

Когато прозорецът е приложен към сигнала обаче, амплитудите на сигнала, които ще бъдат изчислени с преобразуването на Фурие, ще намалят. Кохерентната амплитуда на прозореца измерва това намаление. Амплитудите, изчислени с преобразуването на Фурие, трябва да се настроят (разделят) с кохерентната амплитуда за да са сравними. Кохерентната амплитуда на прозореца на Хан от 20 точки в този пример е 0.475. При прозорци с по-голяма дължина, кохерентната амплитуда ще клони към 0.5.

Подобно "спектрално разсейване " се получава и когато дискретното преобразуване на Фурие е изчислено за точки между самите компоненти на преобразуването. Вземи следната графика.

Спектрално разсейване при фокусирането на дискретното преобразуване на Фурие и промени на кохерентната амплитуда

Изчисления, които са подобни на тези на дискретното преобразуване на Фурие, се използват за да се анализира честотното съдържание на една проста вълна с 80 Hz със и без прозореца на Хан. Прозорецът на Хан намалява спектралното разсейване, но резултатът от прозореца на Хан трябва да се настрои със кохерентната амплитуда за да даде очакваната амплитуда от 0 dB при 80 Hz.

Кохерентни амплитуди на често срещани прозорци

Следното са кохерентните амплитуди на често срещани прозорци (с определенията за прозорците в този сайт).

Бартлет и Хан 0.50
Блекмън
Точен Блекмън
Обобщен Блекмън
  α = 0.05
  α = 0.20
  α = 0.35
0.42
0.43

0.47
0.40
0.32

Блекмън и Харис 0.36
Блекмън и Нътол 0.36
Боумън 0.40
Долф и Чебишев
  ω0 = 0.1
  ω0 = 0.2
  ω0 = 0.3
0.34
0.25
0.20
Плосък 0.22
Гаус
  σ = 0.3
  σ = 0.5
  σ = 0.7
Приблизителен ограничен на Гаус
  σ = 0.3
  σ = 0.5
  σ = 0.7
Обобщен нормален
  α = 2
  α = 4
  α = 6
0.37
0.60
0.74

0.37
0.57
0.61

0.60
0.54
0.52

Хеминг 0.54
Хан 0.50
Хан и Поасон
  α = 0.3
  α = 0.5
  α = 0.7
0.46
0.43
0.41
Кайзер
  α = 0.5
  α = 1.0
  α = 5.0
0.85
0.67
0.42
Кайзер и Бесел 0.40
Ланцош 0.59
Нътол 0.36
Парзън 0.69
Клин на Планк
  ε = 0.2
  ε = 0.4
  ε = 0.5
0.80
0.60
0.50
Поасон
  α = 0.2
  α = 0.5
  α = 0.8
0.91
0.79
0.69
Степен на косинуса
  α = 1.0
  α = 2.0
  α = 3.0
0.64
0.50
0.42
Правоъгълен 1.00
Синусоиден 0.64
Триъгълен 0.50
Тъки
  α = 0.3
  α = 0.5
  α = 0.7
0.65
0.75
0.85
Ултрасферичен (x0 = 1)
  μ = 2
  μ = 3
  μ = 4
0.68
0.55
0.48
Уелч 0.67

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.