Триъгълен прозорец

Коефициентите на триъгълния прозорец се дават от формулата

$$a(k)=\frac{2}{N-1}(\frac{N-1}{2}-|k-\frac{N-1}{2}|)=1-|\frac{k-\frac{N-1}{2}}{\frac{N-1}{2}}|$$

където N е дължината на филтъра и k = 0, 1, …, N – 1.

Различни определения използват N / 2 или (N + 1) / 2 в знаменателя на последната част на формулата. Когато се използва (N – 1) /2, както във формулата по-горе, прозорецът също така се нарича и прозорец на Бартлет или триъгълен прозорец с крайни точки равни на нула.

Вземи един нискочестотен филтър с краен импулсен спектър (FIR) и с дължина N = 201. Следното е триъгълния прозорец.

Триъгълен прозорец

Ако пробната честота е 2000 Hz и преходната честота на филтъра е 40 Hz, тогава импулсният спектър на филтъра с правоъгълен прозорец (без прозорец) и с триъгълния прозорец е следния.

Импулсен спектър на нискочестотен филтър със и без триъгълния прозорец

Амплитудният спектър на същия филтър е показан в следната графиката.

Амплитуден спектър на нискочестотен филтър със и без триъгълния прозорец

Извеждане на триъгълния прозорец от правоъгълния прозорец

Вземи два правоъгълни прозореца f(k) и g(n) с дължина N.

$$f(k)=\begin{cases} 1, \,\, 0 \le k \le N-1 \\ 0, \,\, k N-1 \end{cases}$$ $$g(k)=\begin{cases} 1, \,\, 0 \le k \le N-1 \\ 0, \,\, k N-1 \end{cases}$$

Конволюцията на f(k) и g(n) е следната

$$(f * g)(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) \, g(n-k) = \sum_{k=0}^{N-1} g(n-k)$$

Втората сума по-горе следва от това, че f(k) е нула извън интервала от 0 до N – 1 и 1 в интервала.

Ако n < 0, конволюцията е нула. Ако 0 ≤ n ≤ N – 1, горната сума е равна на n. Поради факта, че g = 1 само при 0 ≤ n – m ≤ N – 1, което е еквивалентно на n – (N – 1) ≤ m ≤ n, когато n > N – 1

$$(f * g)(n)=\sum_{m=n-(N-1)}^{N-1} g(n-m) = 2(N-1)-n$$

Така, коволюцията на два правоъгълни прозореца с дължина N дава

$$(f * g)(n)=\begin{cases} n, \,\,\, 0 \le n \le N-1 \\ 2(N-1)-n, \,\,\, N-1 \lt n \le 2(N-1) \\ 0, \,\,\, n \lt 0 \end{cases}$$

или

$$(f * g)(n)=\begin{cases} N-1-|n-(N-1)|, \,\,\, 0 \le n \le 2(N-1) \\ 0, \,\,\, n \lt 0, n \gt 2(N-1) \end{cases}$$

Това е триъгълният прозорец, който обаче е с дължина два пъти дължината на правоъгълните прозорци (минус 1). Ако заместим N – 1 с (N – 1) / 2 и умножим по една скаларна величина за да получим прозорец с връх равен на 1, ще получим формулата за триъгълния прозорец в началото на тази тема.

Прозорците, които се получават от конволюцията на правоъгълни прозорци, се наричат прозорци на основния жлеб (от англ., "basic spline" или "B-spline"). Такива са правоъгълния прозорец (първи разряд), триъгълния прозорец (втори разряд) и прозореца на Парзън (четвърти разряд 4), където всеки следващ разряд се получава от предишния разряд с конволюция със същия правоъгълен прозорец.

Измерения за триъгълния прозорец

Следната графика сравнява дискретизираното преобразуване на Фурие на триъгълния прозорец с правоъгълния прозорец.

Дискретизирано преобразуване на триъгълния прозорец

Измеренията на триъгълния прозорец са следните.

Кохерентна амплитуда 0.50
Еквивалентна лента на шума 1.34
Загуба при преработката -1.26 dB
Загуба на лоба -1.82 dB
Загуба при преработката в най-лошия случай -3.07 dB
Ниво на най-високия страничен лоб -26.5 dB
Спадане на страничните лобове -11.4 dB / октава, -37.7 dB / декада
Главният лоб е -3 dB 1.28 компонента
Главният лоб е -6 dB 1.78 компонента
Корелация при застъпването при застъпване от 50% 0.248
Амплитудна гладкост при застъпване от 50% 1.000
Корелация при застъпването при застъпване от 75% 0.718
Амплитудна гладкост при застъпване от 75% 1.000

Виж също:
Прозорец

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.