Филтър шелф

Един филтър шелф е честотен филтър, който увеличава или намалява амплитудата на честотите в една честотна лента.

Един нискочестотен филтър шелф с положителна амплитуда например ще увеличи амплитудите на честотите под някаква преходна честота и ще остави амплитудите на честотите над тази преходна честота непроменени. Един такъв филтър, по същество, ще работи подобно на един нискочестотен филтър, но с по-малка разлика в амплитудите на нискочестотната лента и високочестотната лента.

Цифрови филтри шелф с ограничени импулсни спектри

Един филтър шелф с ограничен импулсен спектър (от англ., "finite impulse response" или FIR) може да бъде създаден като се комбинират нискочестотни, високочестотни, средночестотни и режекторни филтри FIR с подходящите амплитуди. Еквилайзерът от две ленти в темата Еквилайзер е един високочестотен филтър шелф с положителна амплитуда, защото той увеличава амплитудите на честотите над преходната честота и оставя амплитудите на честотите под преходната честота непроменени.

Цифров филтър шелф с неограничен импулсен спектър, който увеличава амплитудата на ниските честоти

Функцията

$$H(s)=\prod_{n=1}^N \frac{s+\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{4}N]{G}e^{-j \,a_n}}{s+e^{-j \,a_n}}, \,\,\, a_n=(\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{2N})\pi$$

е една трансферна функция с преобразуването на Лаплас за един филтър шелф, който добавя амплитуда към ниските честоти, с разряд N, преходна честота 1 и амплитуда G.

Амплитудният спектър на нискочестотният филтър шелф от разряд N по-горе е

$$|H(j\,\omega)H(-j\,\omega)|=\frac{\omega^{2N}+G^2}{\omega^{2N}+1}$$

Определи например N = 2. Трансферната функция с преобразуването на Лаплас на нискочестотния филтър шелф от втори разряд с амплитуда G е

$$H(s)=\frac{s^2+\sqrt{2G}\,s+G}{s^2+\sqrt{2}\,s+1}$$

За да получим трансферната функция с преобразуването Z на филтъра при преходната честота ωc, използваме биквадратното преобразуване s = (z – 1) / (K (z + 1)) (виж също Билинейно преобразуване), където K = tan(ωc / 2).

$$H(z)=\frac{(1+\sqrt{2G}\,K+G\,K^2)+(-2+2G\,K^2)z^{-1}+(1-\sqrt{2G}\,K+G\,K^2)z^{-2}}{(1+\sqrt{2}\,K+K^2)+(-2+2K^2)z^{-1}+(1-\sqrt{2}\,K+K^2)z^{-2}}$$

Да предположим, че пробната честота е 2000 Hz, G = 2 (6 dB) и ωc = 0.6 (191 Hz за тази пробна честота, K ≈ 0.30934). Амплитудният спектър на получения филтър е

Амплитуден спектър на нискочестотния филтър шелф от втори разряд

Преходната лента на този филтър ще е по-малка при по-високи разряди.

Цифров филтър шелф с неограничен импулсен спектър, който намалява амплитудата на високите честоти

Един филтър шелф, който запазва амплитудите на ниските честоти но намалява амплитудите на високите честоти е същия като този по-горе, но с допълнителната амплитуда (1/G). Ако например умножим коефициентите на числителя в трансферната функция с преобразуването Z във филтъра по-горе по (1/G), ще получим следният амплитуден спектър.

Амплитуден спектър на един високочестотен филтър шелф от втори разряд с отрицателна амплитуда

Цифров филтър шелф с неограничен импулсен спектър, който увеличава амплитудата на високите честоти

Един лесен начин да се получи един филтър шелф, който запазва амплитудите на ниските честоти но увеличава амплитудите на високите честоти е да се разменят коефициентите в числителя и знаменателя в трансферната функция на нискочестотния филтър шелф и да се добави допълнителна амплитуда G. Високочестотният филтър получен от нискочестотния пример по-горе например е

$$H(z)=G\,\frac{(1+\sqrt{2}\,K+K^2)+(-2+2K^2)z^{-1}+(1-\sqrt{2}\,K+K^2)z^{-2}}{(1+\sqrt{2G}\,K+G\,K^2)+(-2+2G\,K^2)z^{-1}+(1-\sqrt{2G}\,K+G\,K^2)z^{-2}}$$

Със същите параметри от по-горе (пробна честота 2000 Hz, G = 2 = 6 dB и ωc = 0.6 (191 Hz при пробната честота, K ≈ 0.30934), този филтър ще даде следния амплитуден спектър.

Амплитуден спектър на един високочестотен филтър шелф от втори разряд

Цифров филтър шелф с неограничен импулсен спектър, който намалява амплитудата на ниските честоти

Един филтър шелф, който намалява амплитудите на ниските честоти, е просто един филтър шелф, който увеличава амплитудите на високите честоти, но с по-малка амплитуда (т.е., с амплитудата 1/G приложена към коефициентите в числителя).

Цифрови филтри шелф с неограничени импулсни спектри, които увеличават или намаляват амплитудата на една средночестотна лента

Филтри шелф, които увеличават или намаляват амплитудата на една средночестотна лента, могат да бъдат създадени с правилната комбинация от нискочестотни и високочестотни филтри шелф. Или пък един филтър, който увеличава амплитудата в една средночестотна лента, може да се получи от трансферната функция най-отгоре, като се замени s със (s2c2) / (B s), където ωc е средата на честотната лента с увеличената амплитуда и B е ширината на лентата. Един филтър, който намалява амплитудата на една средночестотна лента, може да се получи, като се разменят коефициентите на числителя и знаменателя във филтъра шелф, който увеличава амплитудата на лентата.

Ако например заменим s със (s2c2) / (B s) в нискочестотния филтър шелф от втори разряд, ще получим

$$H(s)=\frac{(\frac{s^2+\omega_c^2}{Bs})^2+\sqrt{2}\,G \frac{s^2+\omega_c^2}{Bs}+G}{(\frac{s^2+\omega_c^2}{Bs})^2+\sqrt{2} \frac{s^2+\omega_c^2}{Bs}+1}=\frac{(s^2+\omega_c^2)^2+\sqrt{2}\,G Bs(s^2+\omega_c^2)+GB^2 s^2}{(s^2+\omega_c^2)^2+\sqrt{2}\, Bs(s^2+\omega_c^2)+B^2 s^2}$$

След билинейното преобразуване s = 2 (z – 1) / (z + 1), трансферната функция на този средночестотен филтър шелф е

$$H(s)=\frac{a_0+a_1 z^{-1}+a_2 z^{-2}+a_3 z^{-3}+a_4 z^{-4}}{b_0+b_1 z^{-1}+b_2 z^{-2}+b_3 z^{-3}+b_4 z^{-4}}$$ $$a_0=16+\omega_c^4+8\omega_c^2+8\sqrt{2}\,G B+2\sqrt{2}\,G B\omega_c^2+4GB^2$$ $$a_1=-64+4\omega_c^4-16\sqrt{2}\,G B+4\sqrt{2}\,G B\omega_c^2$$ $$a_2=96+6\omega_c^4-16\omega_c^2-8G\,B^2$$ $$a_3=-64+4\omega_c^4+16\sqrt{2}\,G B-4\sqrt{2}\,G B \omega_c^2$$ $$a_4=16+\omega_c^4+8\omega_c^2+2\sqrt{2}\,G B(-4-\omega_c^2)+4GB^2$$ $$b_0=16+\omega_c^4+8\omega_c^2+8\sqrt{2}\, B+2\sqrt{2}\, B \omega_c^2+4B^2$$ $$b_1=-64+4\omega_c^4-16\sqrt{2}\, B+4\sqrt{2}\, B\omega_c^2$$ $$b_2=96+6\omega_c^4-16\omega_c^2-8B^2$$ $$b_3=-64+4\omega_c^4+16\sqrt{2}\, B-4\sqrt{2}\, B\omega_c^2$$ $$b_4=16+\omega_c^4+8\omega_c^2+2\sqrt{2}\, B(-4-\omega_c^2)+4B^2$$

Амплитудният спектър, при пробната честота 2000 Hz, ωc = 1.5 ≈ 477 Hz, B = 0.5 и G = 4 ≈ 12 dB е следния. Забележи, че този филтър е изчислен с билинейното преобразуване, а не с биквадратното преобразуване и следователно има изместване в ωc и B (виж Билинейно преобразуване)

Амплитуден спектър на средночестотния филтър шелф от втори разряд

Ако се разменят коефициентите на числителя и знаменателя, амплитудният спектър на филтъра ще бъде следния.

Амплитуден спектър на режекторния филтър шелф от втори разряд

Забележи, че в този филтър можем да контролираме средата на лентата с променена амплитуда, ширината на лентата и амплитудата на лентата. Ако лентата е тясна и амплитудата е голяма, тези средночестотни филтри шелф могат да станат филтри връх или филтри бразда.

Бележка за филтрите шелф с тесни ленти

Забележи, че амплитудният спектър на филтрите шелф, които увеличават или намаляват амплитудата на една средночестотна лента, не е е толкова добър при тесните ленти. Следното например е амплитудния спектър на същия филтър по-горе, с ωc = 2, B = 0.1 и G = 4, при пробната честота 2000 Hz.

Амплитуден спектър на един филтър шелф с тясна лента

Вълните в двата края на амплитудния спектър ще станат по-големи при по-малки стойности на B или по-големи стойности на ωc.

Добави нов коментар

Filtered HTML

  • Freelinking helps you easily create HTML links. Links take the form of [[indicator:target|Title]]. By default (no indicator): Click to view a local node.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.
CAPTCHA
This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
Enter the characters shown in the image.